1a: 25/4 MU DR

1e: ?/3 MU EN

1fi: 21/4 MU/SA MU/EN

---

1. Dagens opgave

1. Definition af sin, cos ud fra vektorer (3:30) - formel (43)

2. Ligninger i Abacus

3. 1a+1e: Klavs' link: Kimsleg

4. Vektorer i Abacus

YOURSKILLS - Træningsopgaver

Determinant

• Find areal af parallellogram udspændt af vektorer - formel (60 og 61)

• Find determinanten af to vektorer heltal - formel (61)

Projektion af vektor på vektor

• Find længden af projektionen af en vektor på en anden - formel (56)

• Find projektionen af en vektor på en anden - formel (55)

Retningsvinkel af vektor

• Find retningsvinklen af vektoren - benyt fx formel (51)

Skalarprodukt af vektorer

• Find skalarprodukt ud fra længderne og vinklen mellem vektorerne - formel (51) og solve i Maple

Sum, differens, gang med tal

• Find sum af to vektorer ud fra koordinater

Tværvektor

• Find tværvektoren ud fra vektor koordinaterne - formel (57)

Vinkel mellem vektorer, parallelle og ortogonale vektorer

• Find vinkel mellem to vektorer - formel (51) løs ligningen i Maple - husk stort C i cosinus.

• Ortogonale vektorer - formel (50 og 53)

• Ortogonale vektorer med ukendt parameter - formel (50 og 53)

• Parallelle vektorer - formel (58 og 60)

• Parallelle vektorer med ukendt parameter LET- formel (58) løs ligningen i Maple - husk stort S i sinus.

• Vektorer 2D Bestem t så ortogonal SVÆR- formel (58) løs ligningen i Maple - husk stort S i sinus.

• Vinklen i en trekant analytisk geometri - formel (51) løs ligningen i Maple - husk stort C i cosinus.

• Vinklen i en trekant kun koordinatsæt - formel (51) løs ligningen i Maple - husk stort C i cosinus.

Længde af vektor

• Vektorlængde ud fra to punkter på graf - formel (45 og 49)

Tegn en figur 3+4. Kræver skalarprodukt og determinant

Klavs' link

Til emnet Vektorer kan anbefales denne playliste

1a: 21/4 MU DR

1e: 26/4 MU EN

1fi: 19/4 MU/SA MU/EN

---

1. Dagens opgave

1. Klavs gennemgår (58), (59) og (60) og (61) - herunder areal af trekant.

3. 1. Blandede to opgaver (formel 58, 60, 61)

1. Parallelle vektorer (beregn det() og angiv parallellitet)

2. Areal af trekant figur (aflæs vektorernes koordinater og beregn)

Klavs' link: Kimsleg

Klavs gennemgår

3. Parallelle vektorer med ukendt parameter  (beregn det(), sæt lig 0 og løs ligning)

1. Definition af sin, cos ud fra vektorer (3:30)

YOURSKILLS - Træningsopgaver

Determinant

• Find areal af parallellogram udspændt af vektorer - formel (60 og 61)

• Find determinanten af to vektorer heltal - formel (61)

Projektion af vektor på vektor

• Find længden af projektionen af en vektor på en anden - formel (56)

• Find projektionen af en vektor på en anden - formel (55)

Retningsvinkel af vektor

• Find retningsvinklen af vektoren - benyt fx formel (51)

Skalarprodukt af vektorer

• Find skalarprodukt ud fra længderne og vinklen mellem vektorerne - formel (51) og solve i Maple

Sum, differens, gang med tal

• Find sum af to vektorer ud fra koordinater

Tværvektor

• Find tværvektoren ud fra vektor koordinaterne - formel (57)

Vinkel mellem vektorer, parallelle og ortogonale vektorer

• Find vinkel mellem to vektorer - formel (51) løs ligningen i Maple - husk stort C i cosinus.

• Ortogonale vektorer - formel (50 og 53)

• Ortogonale vektorer med ukendt parameter - formel (50 og 53)

• Parallelle vektorer - formel (58 og 60)

• Parallelle vektorer med ukendt parameter LET- formel (58) løs ligningen i Maple - husk stort S i sinus.

• Vektorer 2D Bestem t så ortogonal SVÆR- formel (58) løs ligningen i Maple - husk stort S i sinus.

• Vinklen i en trekant analytisk geometri - formel (51) løs ligningen i Maple - husk stort C i cosinus.

• Vinklen i en trekant kun koordinatsæt - formel (51) løs ligningen i Maple - husk stort C i cosinus.

Længde af vektor

• Vektorlængde ud fra to punkter på graf - formel (45 og 49)

Tegn en figur 3+4. Kræver skalarprodukt og determinant

Klavs' link

Til emnet Vektorer kan anbefales denne playliste

1a: 20/4 MU DR

1e: 25/4 MU EN

1fi: 17/4 MU/SA MU/EN

---

1. Dagens opgave

Tegn en figur 1+2 (start med den side, hvor der 24 punkter). Klavs mind om formler og hvordan vektorer regnes.

Opgaver

1. Questionwriter. Beregning af Vinklen mellem to vektorer Formlerne (59) eller (51) eller - benyt vinkel( ) kommandoen fra Maple. Bemærk at Maple altid giver den mindste vinkel mellem de to vektorer (altså fra vinklen fra a til b er den samme som b til a - I skal tænke over om den vinkel, som er svaret er "den store vinkel".)

2. Questionwriter. Beregning af Projektionen af en vektor på en anden - benyt proj( ) kommandoen fra Maple

1a: 14/3 MU DR

1e: 24/4 MU EN

1fi: 14/4 MU/SA MU/EN

---

1. Dagens opgave

Opvarmning: Regn med vektorkoordinater (samleopgave) Opgaver (sum, differens, gang m tal)

Projektion af en vektor på en anden vektor

Klavs forklarer vektorprojektion (ingen formler)

3. 1. 1. 1. Opgave Vektorer 2D Projektion Tegn (ingen beregning)

Videogennemgang af projektion af vektor på vektor (5:55) (55) og (56)

Opgaver 

3. 1. 1. 1. 1. 1. Projektion af vektor på vektor (grafisk i koordinatsystem)

               2. Opgaverne skal løses ved at indsætte i formel (55). 

               3. Herefter beregnes resultatet PÅ PAPIR

3. 1. 1. 1. 1. 4. Nu defineres de to vektorer i Maple som 

vektor_a:=<a1,a2>

vektor_b:=<b1,b2> 

og du finder projektionsvektoren af vektor a på vektor b igen med kommandoen 

proj( vektor_a,vektor_b) i Maple. 

3. 1. 1. 1. 1. Find projektionen af en vektor på en anden (uden koordinatsystem)

Opgaver - længde af projektionsvektor

3. 1. 1. 2. Opgaverne skal løses ved at indsætte i formel (56). 

         3. Herefter beregnes resultatet PÅ PAPIR

            2. 1. Find længden af projektionen af en vektor på en anden

1a: 29/3 + 13/4 MU DR

1e: 21/4 MU EN

1fi: 27/3 MU/SA MU/EN

---

1. Dagens opgave

1. 1. 1. 1. Ortogonale vektorer med ukendt parameter (Klavs gennemgår)

1. Vektorræs

1. Se Videogennemgang af vinkel mellem to vektorer (3:47)

3. Opgaver 

   1. 1. 1. Opgaverne skal løses på 2 måder (begge metoder kræver Gympakken)

            1. Først ved at ved at indsætte i formel (51). 

            2. Herefter anvendes Maple til løse ligningen - solve ( ) (husk Cos og ikke cos).

            3. Den anden metoder er at definere de to vektorer i Maple som 

vektor_a:=<a1,a2>

vektor_b:=<b1,b2> 

og du finder vinklen igen med kommandoen 

vinkel( vektor_a,vektor_b>) i Maple. 

3. 1. Vinkel mellem vektorer 

1a: 16/3 MU DR

1e: 19/4 MU EN

1fi: 20/3 MU/SA MU/EN

---

1. Dagens opgave

1. Klavs forklarer tværvektor (57)

   1. 1. 1. Find den oprindelige vektor ud fra tværvektorer

1. 1. 1. 1. QL (lærerlink) - Klavs minder om ensrettede, parallelle, enhedsvektor, nulvektor, vinkelrette (ortogonale)

2. Videogennemgang af prikprodukt og determinant. (5:00)

   1. 1. Klavs' videoer: 

         2. 1. Regn prikproduktet korrekt uden fejl (2:30)

            2. Regn determinanten korrekt uden fejl (2:25)

3. Klavs gennemgår (50+53) - prikprodukt = skalarprodukt

          Opgaver:

3. 1. 1. Find skalarproduktet af to vektorer heltal

      2. Vektorer 2D Regning (plus, minus, prikprodukt, længde af vektor)

      3. Ortogonale vektorer 

Klavs gennemgår:

3. 1. 3. 1. Ortogonale vektorer med ukendt parameter (Klavs gennemgår)

Klavs gennemgår:

3. 1. 3. 2. Træn skalarprodukt, tværvektor, determinant:  Vektorer 2D Produkt Tværvektor Determinant

4. Vektorræs

1. Se Videogennemgang af vinkel mellem to vektorer (3:47)

5. Opgaver 

   1. 2. 1. Opgaverne skal løses ved at indsætte i formel (51). 

         2. Herefter anvendes Maple til løse ligningen - solve ( ) (husk Cos og ikke cos).

         3. Nu defineres de to vektorer i Maple som vektor_a:=<a1,a2>

og du finder vinklen igen med kommandoen vinkel( vektor_a,vektor_b>) i Maple. 

5. 1. Vinkel mellem vektorer

1a: 15/3 MU DR

1e: 13/4 MU EN

1fi: 16/3 MU/SA MU/EN

---

Grundlæggende begreber i vektorregning

• • 1. Regning med vektorer

       1. 1. Se video 3 FriViden om vektorer Regning med vektorer i planen (12:36)

             1. 1. Sum/differens af to vektorer, tal gange vektor

          2. Se Klavs video om at regne rigtigt (uden fejl). Vektor AB ud fra to punkter   (2:20)

• • 1. 1. 3. Opgaver (lav en opgave rigtigt og gå til den næste - osv - start forfra)

             1. Sum af to vektorer analytisk

             2. Sum af to vektorer grafisk

             3. Find differens af to vektorer ud fra koordinater

             4. Find koordinater af vektor der ganges med tal

             5. Vektorlængde ud fra to punkter på graf

• • 1. 1. 4. Opgaver 

             1. Lav en opgave på papir. 

             2. Lav den samme opgave i Maple ved at definere vektorerne og beregne linearkonbinationen.

                1. OPGAVE: Linearkombination af vektorer grafisk (Klavs vis hvordan på projektor og tavle)

• • 1. 1. Klavs forklarer tværvektor (57)

          2. 2. 1. Find den oprindelige vektor ud fra tværvektorer

1. 1. 1. 1. QL (lærerlink) - Klavs minder om ensrettede, parallelle, enhedsvektor, nulvektor, vinkelrette (ortogonale)

1a: 10/3 MU DR

1e: 31/3 MU EN

1fi: 16/3 MU/SA MU/EN

---

Grundlæggende begreber i vektorregning

1. Vi spørger lige ChatGPT

   1. 1. Bed ChatGPT om at forklare dig, hvad vektorregning er, hvad det kan bruges til og lad den forklare dig simple regneregler for vektorer. 

      2. Fortæl ChatGPT, at du går i første g i gymnasiet og aldrig har hørt om vektorregning før. 

      3. Tag gode noter eller kopier ChatGPTs tekst så vi præcist ved, hvad den svarer.

      4. Hvis den skriver noget, som du ikke forstår så bed den om at forklare det igen.

      5. Bed den om en opgave, så du selv kan træne en beregning.

      6. 10 min så samler vi op. 

Alternativt - se her

1. 1. Vektorbegrebet

      1. Se video 1 FriViden om vektorer - Introduktion (7:04)

• • 1. 1. 1. 1. Vektor, stedvektor, egentlige vektor, koordinater, notation, længde, koordinatsæt ud fra 2 punkter, modsat vektor

             2. Se Klavs' video om, hvordan man regninger rigtigt - på papir Vektor ud fra 2 punkter, sum, differens, længde (10:00)

             3. OPGAVER

                1. Bestem vektorkoordinat udfra figur

                2. Bestem vektorkoordinat udfra to punkter på figur

                3. Bestem vektorkoordinat udfra to punkter

                4. Bestem vektorlængde udfra to punkter

• • 1. 1. Længde af vektorer Se video 2 (spring over) FriViden om vektorer - Længde af vektor (1:45)

• • 1. Regning med vektorer

       2. 1. Se video 3 FriViden om vektorer Regning med vektorer i planen (12:36)

             2. 1. Sum/differens af to vektorer, tal gange vektor

          2. Se video 4 (spring over) FriViden om vektorer  Regning med vektorer (3:05)

             2. 1. Brug af regneregler for sum, different og tal gange vektor

          3. Opgaver (lav en opgave rigtigt og gå til den næste - osv - start forfra) (1fi herfra)

             1. Sum af to vektorer analytisk

             2. Sum af to vektorer grafisk

             3. Find differens af to vektorer ud fra koordinater

             4. Find koordinater af vektor der ganges med tal

• Se billedet nedenfor fra en opgave i fysik. En vandpose til slukning af skovbrænde bliver fragtet af en helokopter med konstant hastighed fra en sø til en skovbrand. På tegningen ses de kræfter (symboliseret som vektorer), som påvirker vandposen.

  • 1. Den røde vektor er kraften fra helikopteren overført til vandposen via de wire, som posen hænger i.

    2. Den grønne vektor er tyngdekraften

    3. Den blå vektor er luftmodstanden.

    4. Hvis man lægger alle de tre vektorer sammen kan man se, at de "ophæver" hinanden og posen bliver derfor samlet set ikke påvirket  af nogen kraft. F=m*a=0. Posens acceleration er derfor 0 og posen bevæger sig med konstant hastighed.

• • 4. 2. 2. 1. Vektorlængde ud fra to punkter på graf

             2. Linearkombination af vektorer grafisk (Klavs vis hvordan på projektor og tavle)

             3. Lav opgaver af typen ovenfor, men definer vektorerne i Maple og beregn linearkombinationen i Maple (se billedet)