2i Ma: 19/9 

Dagens opgave 

1. 1. 1. 1. Lav opgave 2.d1.49 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 4 minutter

-------------------------------------------------------------

EDUFLOW Status....

Differentialregning

Indlevende kahoot (lærerlink)

Quizlet live i gangeregel

1. Klavs gennemgår differentiation af sammensat funktion  (126)

1. 1. 1. 1. Eksempel: p(x) = sin(3x-4) -> p'(x) = cos(3x-4)*3 

1. 1. 1. 2. Eksempel: p(x) = (-3x +5)⁴ -> p'(x) = 4(-3x +5)³ * (-3) 

      1

1. 1. 1. 3. Eksempel: p(x) = √(4x+5) -> p'(x) = ------------------------- * 4

2√(4x+5)

1 -1 

1. 1. 1. 4. Eksempel: p(x) = --------------- -> p'(x) = ------------------------- * 2

2x-10 (2x-10)²

2. Rutinetræning - differentier vha 125 og 126 (25 minutter)

3. Differentiation i Maple (se billeder)

------------------------- EKSTRA -------------------------

• Playliste med videoforklaringer til dette forløb (Differentialregning).

De fire centrale videoer om emner:

• Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

• Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

• Se denne video om hvordan vi finder en formel for tangentens hældning for en funktion f(x). (8:00)

• Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30). 

2i Ma: 14/9 

Dagens opgave 

1. 1. 1. 1. Lav opgave 2.d1.49 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 4 minutter

-------------------------------------------------------------

Differentialregning

1. Rutinetræning - differentier et polynomium sammen med andre funktioner (30 minutter)

2. Klavs gennemgår gangereglen (125)

   1. 1. 1. Eksempel: p(x) = sin(x) * ln(x) -> p'(x) = cos(x) * ln(x) + sin(x)*1/x 

2. 1. 1. 2. Eksempel: p(x) = (3x⁴ -3x +5) sin(x) -> p'(x) = (12x³ -3) sin(x) + (3x⁴ -3x +5) cos(x) 

   1     -1   1         1

2. 1. 1. 3. Eksempel: p(x) = --- * √(x) -> p'(x) = ---- * √(x) + ----- * ---------

   x     x²     x       2√(x) 

3. Rutinetræning - differentier vha gangereglen (30 minutter)

------------------------- EKSTRA -------------------------

• Playliste med videoforklaringer til dette forløb (Differentialregning).

De fire centrale videoer om emner:

• Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

• Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

• Se denne video om hvordan vi finder en formel for tangentens hældning for en funktion f(x). (8:00)

• Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30). 

2i Ma: 13/9 

Dagens opgave 

1. 1. 1. 1. Lav opgave ? (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 4 minutter

-------------------------------------------------------------

Differentialregning

Nu skal vi lære at bestemme f'(x) ud fra f(x).

Regneregler se billedet - formlerne 122-137

1. 1. Hvordan findes f'(x) når 

      1. 1. f(x) = x2 f'(x) = 2x2-1 = 2x1 = 2x Formel (133)

1. 1. 1. 2. f(x) = 3x2 f'(x) = 3*2x2-1 = 6x1 = 6x Formel (122, 133)

1. 1. 1. 3. f(x) = -4x2 f'(x) = -4*2x2-1 = -8x1 = -8x Formel (122, 133)

1. 1. 1. 4. f(x) = 5x2 + 3 f'(x) = 5*2x2-1  = 10x1 = 10x Formel (123, 122, 133, 128)

1. 1. 1. 5. f(x) = 5x2 + 3x f'(x) = 5*2x2-1 + 3  = 10x1 + 3 = 10x + 3  Formel (123, 122, 133, 127)

1. 1. 1. 6. f(x) = 5x2 + 3x + 6 f'(x) = 5*2x2-1 + 3 = 10x1 + 3 = 10x + 3 Formel (123, 122, 133, 127)

Rutinetræning - differentier et polynomium

Quizlet LIVE (differentier andengradspolynomier)

Kahoot med polynomier (lærerlink)

Nu skal vi lære at bestemme f'(x) ud fra f(x).

Regneregler se billedet - formlerne 122-137

1. 2. Hvordan findes f'(x) når 

      1. 1. f(x) = x2+ ln(x)     f'(x) = 2x2-1 + 1/x = 2x1 + 1/x = 2x+ 1/x Formel (133) og (129)

1. 2. 1. 2. f(x) = 3x2 - 3*2x f'(x) = 6x - 3*2x *ln(2) Formel (122, 133,132)

1. 2. 1. 3. f(x) = √(x) f'(x) = 1 / (2√(x) )  Formel (135)

         4. f(x) = √(x) eller f'(x) = 1/2 * x -¹/²  Formel (135)

------------------------- EKSTRA -------------------------

• Playliste med videoforklaringer til dette forløb (Differentialregning).

De fire centrale videoer om emner:

• Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

• Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

• Se denne video om hvordan vi finder en formel for tangentens hældning for en funktion f(x). (8:00)

• Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30). 

2i Ma: 12/9 

Dagens opgave 

1. 1. 1. 1. Lav opgave 2.d1.13 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

-------------------------------------------------------------

Differentialregning

Repetition

Husk at f'(x) findes som den værdi, som sekantens hældning går imod (grænseværdien) når h (eller delta x) går imod 0.

1. Tretrinsreglen (se billeder)

2. Hvordan finder vi f'(x) for en lineær funktion vha tretrinsreglen (se billeder). Her ses beviset på en video (4:00)

3. Hvordan finder vi f'(x) for Andengradsfunktionen vha tretrinsreglen (se billeder). Her ses beviset på video (3:00)

Nu er det jeres tur.

I grupper på tre gennemgår i de to beviser. Ulige grupper starter med lineær. Lige grupper starter med andengrads. Efter 20 minutter præsenterer "frivillige" ved tavlen. 

Nu skal vi lære at bestemme f'(x) ud fra f(x).

Regneregler se billedet - formlerne 122-137

1. 1. Hvordan findes f'(x) når 

      1. 1. f(x) = x2 f'(x) = 2x2-1 = 2x1 = 2x Formel (133)

1. 1. 1. 2. f(x) = 3x2 f'(x) = 3*2x2-1 = 6x1 = 6x Formel (122, 133)

1. 1. 1. 3. f(x) = -4x2 f'(x) = -4*2x2-1 = -8x1 = -8x Formel (122, 133)

1. 1. 1. 4. f(x) = 5x2 + 3 f'(x) = 5*2x2-1  = 10x1 = 10x Formel (123, 122, 133, 128)

1. 1. 1. 5. f(x) = 5x2 + 3x f'(x) = 5*2x2-1 + 3  = 10x1 + 3 = 10x + 3  Formel (123, 122, 133, 127)

1. 1. 1. 6. f(x) = 5x2 + 3x + 6 f'(x) = 5*2x2-1 + 3 = 10x1 + 3 = 10x + 3 Formel (123, 122, 133, 127)

Rutinetræning - differentier et polynomium

------------------------- EKSTRA -------------------------

• Playliste med videoforklaringer til dette forløb (Differentialregning).

De fire centrale videoer om emner:

• Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

• Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

• Se denne video om hvordan vi finder en formel for tangentens hældning for en funktion f(x). (8:00)

• Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30). 

2i Ma: 7/9 

Dagens opgave ikke i dag

-------------------------------------------------------------

Differentialregning

Repetition (husk at h og delta x står for det samme)

1. Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

Tangentens hældning fortæller noget om grafens udseende i et punkt

Tre vigtige regler:

1. 1. 1. 1. 1. 1. atangent > 0 så er f voksende

               2. atangent < 0 så er f aftagende

               3. atangent = 0 så har f måske ekstremum 

Begrebet grænseværdi

1. 1. 1. Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

Konklusion: 

1. 1. 1. Vi kan finde sekantens hældning i et punkt - det kaldet differenskvotienten 

      2. Vi kan finde tangentens hældning i et punkt - det kaldet differentialkvotienten - ved at lade afstanden mellem de to punkter (h) gå mod nul.

      3. Det kan vi gøre i alle punkter x og dermed har vi en ny funktion f'(x), som for alle x fortæller hvad tangentens hældning er i en bestemt x-værdi.

Kontinuert funktion og Differentiabel funktion

1. Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30).

------------------------- EKSTRA -------------------------

• Playliste med videoforklaringer til dette forløb (Differentialregning).

De fire centrale videoer om emner:

• Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

• Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

• Se denne video om hvordan vi finder en formel for tangentens hældning for en funktion f(x). (8:00)

• Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30). 

2i Ma: 29/8 

Dagens opgave (spring over i dag)

1. 1. 1. 1. Lav opgave 2.d1.13 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

-------------------------------------------------------------

Differentialregning

Introduktion

1. 1. 1. Se videoen som en introduktion til emnet (9:00)

         2. 1. Bemærk de to dele: 

               1. 1. Væksthastighed = grafens stejlhed

                  2. Størst areal = toppunkt på graf (maksimum)

Et virkeligt eksempel

1. 1. 3. Et eksempel fra den virkelige verden (se billeder nedenfor) om svineproduktion 

Hvordan finder vi væksthastigheden (stejlheden af grafen) eller maksimum/minimum?

1. 1. 4. Tangents hældning er væksthastigheden (jf introvideoen)

         1. Se tre demoer:

            2. 1. En voksende funktion

               2. En aftagende funktion

               3. En voksende og aftagende funktion - har måske ekstremum

1. 1. 4. 2. Konklusion - tre vigtige regler:

            2. 1. atangent > 0 så er f voksende

               2. atangent < 0 så er f aftagende

               3. atangent = 0 så har f måske ekstremum 

1. 1. 5. Nu opfinder vi en ny funktion, som skal hjælpe med at fortælle om væksthastigheden (kaldes f'(x) )

1. 1. 6. Sådan finder vi tangentens hældning. Se gennemgangen fra bogen i billederne nedenfor

------------------------- EKSTRA -------------------------

• Playliste med videoforklaringer til dette forløb (Differentialregning).

De fire centrale videoer om emner:

• Se denne video om hvordan vi kan finde stejlheden for en funktion i et punkt x0 og hvordan vi kan finde en ny funktion f’(x), som beskriver stejlheden for f(x) i alle x-værdier. (12:00)

• Se denne video om hvordan vi finder grænseværdien for sekantens hældning når delta-x går mod 0. (4:00)

• Se denne video om hvordan vi finder en formel for tangentens hældning for en funktion f(x). (8:00)

• Se denne video om hvordan begrebet grænseværdi og differentiabel og kontinuert funktion hænger sammen. (6:30).