2i: 14/4 

Binomialfordelingstest - konfidensinterval

Konfidensinterval

Konfidensinterval for binomialfordelt stokastisk variabel

1. Se billedet til højre (grønt/lyserøde om stikprøve og population).

   1. Med 95% sandsynlighed ligger populationens andel (altså sandsynlighed) af succes i 95%-konfidensintervallet. Det beregnes således (formel 191):

      1. 1. Først beregnes p-hat (sandsynlighed for succes baseret på stikprøven). 

p-hat = r/n 

(altså antal succes i stikprøven / antal elementer i stikprøven)

1. 1. 1. 2. Herefter beregnes konfidensintervallet i formel (191).

2. Forklaring på 95% konfidensinterval - hvordan skal det forstås? (10:37).

3. Et eksempel på en opgavebesvarelse. (4:37)

4. Se her hvordan (7:00)

5. Bestem konfidensinterval for spørgeskemaundersøgelse

5. 1. Eksempel: hvor søger folk hjælp? Præst eller clairvoyant?

      1. 1. Se meningsmålingen fra Epinion (billedet nedenfor). Er der flere, som søger hjælp hos en clairvoyant end hos en præst?

         2. SVAR: 

            1. 1. Hvad er n, hvad er r (antal succes) hvad er phat ?

               2. Facit: 

                  1. 1. Clairvoyant: [4,97 % ; 8,12%]

                     2. Præst: [4,41 % ; 7,42%]

Normalfordelingsapproximation for binomialfordelt stokastisk variabel.  

(se klip fra formelsamlingen)

De normale udfald (95 af udfaldene) - altså antallet af succes ligger i intervallet 

[ middelværdi - 2*spredning : middelværdi + 2*spredning]

her er (formel 192)

middelværdi = antal udførte eksperimenter * sandsynlighed for succes = n*p 

spredning = kvadratrod (n * p * (1-p) )

• Se videoen (9:00) om normalfordelings-approximation og

normale, kritiske og exceptionelle udfald.

• 1. Quizlet (lærerlink) inkl hypotesetest og konfidensinterval . 

• Kahoot 3

Binomialfordeling konfidensinterval (se løsning i Maple med z-test)

• Binomialfordeling: 95%-konfidensinterval for andel (OK til ztest - se billedet til højre)

6. Kahoot 2

Se billedet fra nyhedsopslaget om meningsmåling. "Radikale er stormet frem".

1528 vælgere er spurgt. 5% har i en ny meningsmåling svaret Radikale, når de blev spurgt om hvem de ville stemme på. De fik 4,6% ved valget. Er det korrekt, at de er stormet frem? Se svaret på billedet

• Se videoen om usikkerhed i stikprøver 

(meningsmålinger ved folketingsvalg) (Slut ved 14:10).

Bemærk: Formel (191) for konfidensinterval og n betydning for størrelse af usikkerheden.

Lav eksamensopgaverne nedenfor

Klavs' links

Sandsynligheder

Binomialtest

Denne playliste kan anbefales til Sandsynlighedsregning og denne om  Kombinatorik

2i: 27/3 

Binomialfordelingstest

1. FriViden MatB, Statistik, Video 13 - dobbeltsidet (4 min) 

   1. 1. Benyt kommandoen binomialTest(n, p0, signifikansniveau, tosidet) til at se om konklusionen i videoen er korrekt. 

2. Er pastillerne gule? (5:30)

   1. 1. Benyt kommandoen binomialTest(n, p0, signifikansniveau, tosidet) til at se om konklusionen i videoen er korrekt. 

3. FriViden MatB, Statistik, Video 14 - dobbeltsidet (2 min)

   1. 1. Benyt kommandoen binomialTest(n, p0, signifikansniveau, tosidet) til at se om konklusionen i videoen er korrekt. 

OPGAVE: Binomialfordeling test

• Hypotesetest i binomialfordelingen. Bestem den kritiske mængde.

Lav eksamensopgaverne nedenfor

Klavs' links

Sandsynligheder

Binomialtest

Denne playliste kan anbefales til Sandsynlighedsregning og denne om  Kombinatorik

Binomialfordeling konfidensinterval

• Binomialfordeling: 95%-konfidensinterval for andel (OK til ztest)

2i: 22/3 

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 2.d1.57 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

----------------------------------------------------

Binomialfordelingstest

Link til Hans Rosling og Kahoot til svar (med 3 spørgsmål)

Et eksempel på en binomial-hypotesetest Klavs´ matematikprøve

Situation

• Klavs afholder en prøve i matematik. Prøven er en multiple choice test med 20 spørgsmål. I hvert spørgsmål er der 4 svar hvoraf 1 er rigtigt.

• Jørgen svarer 6 rigtige. Spørgsmålet er, om Jørgen kan sige, at han er dygtigere end en chimpanse, der blot svarer helt tilfældigt. 

Hvis vi tester virkelig mange chimpanser, så vil nogle svar 0 rigtige, flere 1, flest 5 rigtige og nogle 6, 7, 8 og flere rigtige - ved ren tilfældighed. De vi fordele sig som på billedet nedenfor.

Hvad tester vi?

• Hypotese H0: Jørgen er ikke dygtigere end en chimpanse, der svarer helt tilfældigt. Dvs Jørgen har 25% chance for at ramme rigtigt i hvert spørgsmål. Kaldes p0 = 0,25.

• Alternativ hypotesen er HA, at Jørgen er dygtigere end en chimpanse, men vi kender ikke hans sandsynlighed for at ramme rigtigt. P for Jørgen kender vi ikke. Den kaldes palternativ

Hvor sikre skal vi være?

• Hvis vi skal tro på, at Jørgen er dygtigere end en chimpanse skal vi være så sikre, at Jørgen kun i 5% af rigtig mange forsøg ville ramme så mange rigtige. Altså at han kun har 5% sandsynlighed for at få de 6 rigtige. De 5% kaldes signifikansniveauet.

Hvordan tester vi?

• Der er fire muligheder

  • Jørgen er lige så dygtig som en chimpanse - altså p0 = palternativ 

  • Jørgen er dygtigere end en chimpanse - altså p0 < palternativ  - Jørgen ligger til højre for chimpansen 

  • Jørgen er ikke lige så dygtig som en chimpanse - altså palternativ < p0 - Jørgen ligger til venstre for chimpansen 

  • Jørgen er enten ikke lige så dygtig ELLER dygtigere end en chimpanse p0 ≠ palternativ - Jørgen ligger enten til højre eller til venstre 

Testen

• Vi tester altid H0. Hvis X er en stokastisk variabel for antal rigtige svar er X binomialfordelt med b(20, ¼).

• Da vi tror at Jørgen er dygtigere end chimpansen er p0 < palternativ og vi skal lave en højresidet test. Jørgen ligger her til højre for middeltallet (tror vi)

Resultater:

• Vi beregner sandsynligheden for at få 6 eller flere rigtige i 20 spørgsmål, hvor sandsynligheden er 1/4 for at ramme rigtigt (ved rent gæt) og benytter kommandoen bincdf(20, 1/4, 6, ♾️).

• Så P(X>6) = 38%. Dette er derfor alt for sandsynligt til at Jørgen har overbevist os om, at han er klogere end en chimpanse.

• Derefter laver vi en binomialTest(20, 1/4, 0.05, højre). Her ses at Acceptmængden er alle resultater fra 8 til og med 8. Det er her hvor vi fastholder Nulhypotesen. Jørgen skal altså svare 9 eller flere rigtige før vi forkaster nulhypotesen.

Konklusion: 

• Da vi ville være 95% sikre på, at Jørgen ikke bare var heldig må vi altså kræve, at han svarer rigtigt på 9 eller flere spørgsmål for at han har overbevist os.

Binomialfordelingstest

Eksempler på dobbeltsidede tests

1. Introduktion til binomialtest (9:00)

   1. 1. Benyt kommandoen binomialTest(n, p0, signifikansniveau, tosidet) til at se om konklusionen i videoen er korrekt. 

2i er nået hertil 22/3

2. FriViden MatB, Statistik, Video 13 - dobbeltsidet (4 min) 

   1. 1. Benyt kommandoen binomialTest(n, p0, signifikansniveau, tosidet) til at se om konklusionen i videoen er korrekt. 

3. Er slikkepindene gule? (5:30)

   1. 1. Benyt kommandoen binomialTest(n, p0, signifikansniveau, tosidet) til at se om konklusionen i videoen er korrekt. 

4. FriViden MatB, Statistik, Video 14 - dobbeltsidet (2 min)

OPGAVE: Binomialfordeling test

• Hypotesetest i binomialfordelingen. Bestem den kritiske mængde.

Lav eksamensopgaverne nedenfor

Klavs' links

Sandsynligheder

Binomialtest

Denne playliste kan anbefales til Sandsynlighedsregning og denne om  Kombinatorik

2i: 20/3 

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 2.d1.57 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

----------------------------------------------------

Velkommen til Matti (Abacus, Eduflow, Maple)

BINOMIALFORDELING

• Se videoen om binomialfordeling (12 min)

  • Lyn-test - er det en binomialfordeling?

  • Afgør om der er tale om et binomialforsøg og find antalsparameteren ud fra tekst

• Binomialfordeling i Geogebra (4:29) 

  • Klavs viser næste side fra Geogebra

• • Bestem p,  1−p og n i en binomialmodel givet antal

• Opgave: Beregn sandsynligheden med formel (188) for at få 5 seksere i 10 kast med en almindelig terning. Dvs: Sandsynligheden er b(10,⅙) og vi skal finde P(X=5).

  • PS: Svaret er P(X=5) = 1,3%

• • Bestem P(X=x) �(�=�) for X � binomialfordelt stokastisk variabel Benyt Maple og benyt formel (188). Regn efter i Maple med binompdf (se billedet nedenfor - kræver kun gympakken)

• • Bestem middelværdi og spredning for andedam (binomial model) Benyt formel (189 og 190)

• • Bestem P(X<=>r) for en binomialfordelt stokastisk variabel Benyt Maple binomcdf (se billedet nedenfor - kræver kun gympakken)

De næste tre opgaver. Lav en rigtig. Gå videre til den næste, lav en rigtig osv. Start forfra.

• • Binomialfordeling (alle tre ovenstående) Benyt Maple bincdf (se billedet nedenfor - kræver kun gympakken)

  • Bestem middelværdi og spredning for en binomialmodel Benyt formel (189 og 190)

• • Opstil binomialmodel ud fra en beskrivelse