Först lite om Leonhard Euler - en av matematikens stora:
Leonhard Euler föddes 1707 i Basel i Schweiz. Han växte upp i Riechen utanför Basel och fick lära sig de matematiska grunderna av sin far, en luthersk präst som tidigare studerat matematik för Jakob Bernoulli. När Euler vid tretton års ålder togs in vid universitetet i Basel studerade han teologi och antika språk, vilket 1724 ledde fram till en magisterexamen.
Vid den här tiden bedrevs den mest framstående forskningen inte vid universiteten, vilka främst ägnade sig åt undervisning, utan vid kungliga akademier runt om i Europa. Euler sökte en professur i matematik vid universitetet i Basel, men när han inte fick den fortsatte han sina studier. Bland annat studerade Euler medicin och fysiologi, eftersom den öppning som eventuellt kunde finnas i Ryssland fanns vid akademiens medicinska avdelning. 1727 blev Euler erbjuden tjänsten så när Euler var 20 år gammal, lämnade han Basel och flyttade till Sankt Petersburg.
Euler är förmodligen den mest produktive matematikern genom tiderna. Han skrev under sitt liv över 900 artiklar och flera böcker. Han har även lagt en del av grunden för dagens matematiska analys genom att vidareutveckla Newtons, Leibniz med fleras teorier. Till skillnad från flertalet andra matematiker behärskade han såväl den diskreta som den kontinuerliga matematiken till fulländning. Han var dessutom en mycket god algoritmkonstruktör.
Euler var även fysiker och astronom. Hans fysiska teorier behandlar bland annat optik, hydrodynamik och balkteori. Han angav principen för akromatiska linssystem genom kombination av enkla linser slipade ur olika sorters glas med olika brytningsindex. Inom astronomin var han främst intresserad av månens rörelser och trekropparsproblemet. Det sistnämnda är ett klassiskt problem som behandlar teorier om hur tre punktmassor rör sig enbart påverkade av sin egen gravitation, och som än idag är olöst. Newton hade tidigare löst det så kallade tvåkropparsproblemet, men då en tredje kropp ingår saknar problemet en allmän lösning. Euler lyckades dock ta fram en approximativ beräkningsmetod som visade sig vara mycket användbar för navigation.
Euler invaldes 1755 som utländsk ledamot nummer 33 av Kungliga Vetenskapsakademien.
Vi kommer att komma i kontakt med Euler vid flera tillfällen.
Hur skriver man ett komplext tal på potensform med hjälp av Eulers formel?
Jo, så här gör man ...
... och här kommer exempel 1 ...
... och här exempel 2
Lösa ekvationer på formen z^n = a + bi
Exempel 1
... och ännu ett exempel på detta :-)
Komplexa tal på polär form
Multiplikation och division av komplexa tal på polär form
... och ett exempel på detta
... och ett exempel till...
Det komplexa talplanet
... exempel på det komplexa talplanet
Liggande stolen
Först med siffror (ental)
sedan med siffror (tiotal)
... och sedan med polynom
Komplexa tal
Nu skall vi kolla på ett helt nytt talområde. Vi har ju under hittills arbetat med:
Naturliga tal (N)
Hela tal (Z)
Rationella tal (Q) och
Reella tal (R)
Nu skall vi utöka antalet tal med de KOMPLEXA TALEN (C) som innefattar alla de andra, oändligt många, talen och lägger till oändligt många tal till :-)
Denna film förklarar vad ett imaginärt tal och ett komplext tal är och hur man räknar med dem.
Rotationskroppar
Först lite teori om hur man räknar ut volymen som bildas när en kurva roterar kring en axel.
... sedan ett exempel på när den roterar kring x-axeln...
... och sedan när den roterar kring y-axeln.
Sneda asymptoter
Alla asymptoter är ju naturligtvis inte vertikala eller horisontella. Det finns ju sneda också och här kommer kvällens actionrulle...
Asymptoter
Vad menas med en ASYMPTOT??
Asymptot-exempel
Gränsvärden
Här kommer två filmer med teori och repetition på gränsvärden
... och exempel
Differentialekvationer
Här kommer lite teori och tillämpningar på en ny typ av ekvationer som kallas differentialekvationer.
,
... och ett exempel
Kedjeregeln
Här kommer lite teori och tillämpningar på kedjeregeln, vilket är den regel vi använt oss av för att beräkna derivatan av en sammansatt funktion, typ f(x)=sin(3x) eller (2x+5)^5
Detta behandlas på sidorna 85 - 87 i läroboken.
Först lite teori:
... och sedan ett exempel ...
... och sedan ett exempel till.
Produktregeln teori
och exempel
Kvotregeln teori
... och ett exempel
Tillämpningar på trigonometriska funktioner
Här kommer lite teori och exempel på tillämpningar på trigonometriska funktioner inom naturvetenskap och teknik
Teori och exempel:
... och ett exempel
... och ännu ett exempel:
Funktionen y=a·sinx + b·cosx
Hur kan man skriva om funktioner av typen y=a·sinx + b·cosx till en sinusfunktion på formen y=A·sin(x+C)?
Teori och exempel:
... och ännu ett exempel:
Tangensfunktionen
Nu skall vi kolla på tangensfunktionen. Den ser helt annorlunda ut jämfört med sinus och cosinus.
Teori 1:
Trigonometriska funktioner
Här skall vi titta på de trigonometriska funktionerna y=sinx och y=cosx
Det blir fyra filmer totalt där vi går igenom hur man kan se vilket funktionssambandet är m.m.
Teori 1:
Teori 2:
Exempel 1:
Exempel 2:
Formler och trigonometriska ekvationer
Ibland blir en trigonometrisk ekvation lättare att lösa om man skriver om ekvationen. Ofta använder man sig då av trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln.
Här kommer tre exempel på detta samt några tips på hur man kan tänka.
Exempel 1:
Exempel 2:
Exempel 3:
Additions- och Subtraktionsformler
Dessa filmer tar upp några nya trigonometriska samband. Både teori och exempel.
När ni sett filmerna kan ni svara på några följdfrågor här:
https://docs.google.com/forms/d/1k_ys-yO-VfxoZMmPPo-fww2jnMl7zM9nZQsX-GHFM7M/viewform
Teori:
Exempel 1:
Exempel 2:
Trigonometriska samband
Dessa filmer tar upp några trigonometriska samband. Både teori och exempel.
När ni sett filmerna kan ni svara på några följdfrågor här:
https://docs.google.com/forms/d/1T5_ehQ8pVCAjxFSg9uQlu-pSHFFMWsiHWkUl7x9cPfg/viewform
Exempel 1:
Exempel 2:
Ett nytt vinkelbegrepp - RADIANER
Här inför vi ett nytt begrepp, nämligen radianer, vilket är en ny vinkelenhet.
Den första filmen tar upp teorin bakom begreppet och den andra visar några exempel.
När ni sett filmerna kan ni svara på några följdfrågor här:
https://docs.google.com/forms/d/1rjxqtO9xtIyORKz_nsXNOq6BqaEYFPLO1CXZhabZwQ4/viewform
Exempel 1:
Exakta värden på vinklar och Enhetscirkeln
I denna filmen skall vi se varför det finns exakta värden på vissa vinklar för de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens.
... och i denna skall vi repetera enhetscirkeln.
Bevis och bevismetoder
Indirekta bevis ...
med exempel ...
Motsägelsebevis ...
med exempel ...
Aritmetiska bevis - teori
Exempel 1 (Aritmetiska bevis)
Exempel 2 (Aritmetiska bevis)
Geometriska bevis och bevismetoder
... med ett exempel på ett Geometriskt bevis
Hur deriverar man sin x och cos x ??
Först lite teori...
... och sedan några exempel