Embedded Files
DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por otro cuando lo contiene un número exacto de veces.
Así, podemos afirmar que cuando un número es múltiplo de otro u otros, es divisible por ese o por esos otros números o factores.
1, 2, 3, 4, 6, 12 SON DIVISORES DE 12
El doce es divisible por uno, porque lo contiene doce veces exactas, es decir, doce es múltiplo de uno.
El doce es divisible por dos, porque lo contiene seis veces exactas, es decir, doce es múltiplo de dos.
El doce es divisible por tres, porque lo contiene cuatro veces exactas, es decir, doce es múltiplo de tres.
El doce es divisible por cuatro, porque lo contiene tres veces exactas, es decir, doce es múltiplo de cuatro.
El doce es divisible por seis, porque lo contiene dos veces exactas, es decir, doce es múltiplo de seis.
El doce es divisible por doce, porque lo contiene una vez exacta, es decir, doce es múltiplo de doce.
Los múltiplos de un número dado, es el producto de éste por los números naturales.
Veamos dos ejemplos
Loa múltiplos de 7 = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,…}
Los múltiplos de 100 = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,…}
Un número par es el que termina en cifra par o en cero.
456, 32, 150, 128, etc. Son divisibles por 2, es decir son múltiplos de dos
Un número impar es el que termina en cifra impar.
13, 457, 1287, 1247, 211479, etc.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD POR DOS
Un número es divisible por dos cuando su última cifra de la derecha, es, decir las unidades, es cero o cifra par.
Los números 124, 2478, 12458 y 100000 son divisibles por dos, pues sus últimas son cero o cifra par.
124 | 2___
04 62
0
DIVISIBILIDAD POR TRES
Un número es divisible por tres cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es tres o múltiplo de tres, es decir se puede dividir por tres.
Ejemplo
El 111 es divisible por tres, pues la suma de sus cifras es tres (1+1+1=3). Efectuemos la división.
111 | 3___
21 37
0
El 456 es divisible por tres, pues la suma de sus cifras es quince (4+5+6=15) y éste es divisible por tres. Efectuemos la división.
456 | 3___
15 152
06
0
DIVISIBILIDAD POR CINCO
Un número es divisible por cinco cuando su última cifra de la derecha, es, decir las unidades, es cero o cinco.
El 105 es divisible por cinco, pues la última cifra es cinco. Efectuemos la división.
105 | 5___
05 21
0
El 750 es divisible por cinco, pues la última cifra es cero. Efectuemos la división.
750 | 5___
25 150
00
DIVISIBILIDAD POR SIETE
Un número es divisible por siete cuando separando la última cifra de la derecha, multiplicándola por dos y restando este producto de lo que queda a la izquierda, así se continúa con las restas obtenidas, si la diferencia obtenida es cero o múltiplo de siete, el número dado es divisible por siete. Cuando la resta no es posible se invierte su sentido. Veamos dos ejemplos:
1) Decir si el 91 es divisible por siete.
El 91 es divisible por siete, pues si separamos la última cifra en nuestro caso el uno, y lo multiplicamos por dos, y restamos éste producto a lo que queda ala izquierda en nuestro ejemplo el nueve, se obtiene siete, por lo tanto es divisible por siete. Efectuemos la división.
91 | 7___
21 13
0
2) Decir si el 721 es divisible por siete.
El 721 es divisible por siete, pues si separamos la última cifra en nuestro caso el uno, y lo multiplicamos por dos, y restamos éste producto a lo que queda ala izquierda, en nuestro ejemplo el 72, se obtiene 70, si continuamos el proceso, es decir; separamos la última cifra, el cero y lo multiplicamos por 2 y lo restamos de lo que queda a la izquierda es 7 por lo tanto es divisible por siete. Efectuemos la división
721 | 7___
021 103
0
DIVISIBILIDAD POR ONCE
Un número es divisible cuando la suma de las cifras de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par, comenzando por la derecha, es cero o múltiplo de once.
1) Decir si el número 121 es divisible por 11.
132211
Si sumamos las cifras de lugar impar obtenemos 2 (1+1=2) y le restamos 2 pues es la única cifra de lugar par, se obtiene 0, por lo tanto el número es divisible por 11.
121 | 11___
11 11
0
Ejemplo
2) Decir si el número 345675 es divisible por 11.
Enumeremos las cifras empezando por la derecha.
364554637251
Si sumamos las cifras de lugar impar obtenemos 15 (5+6+4=15) y le restamos la suma de las cifras de lugar par en nuestro ejemplo 15 (7+5+3=15), se obtiene 0, por lo tanto el número es divisible por 11.
345675 | 11___
15 31425
46
27
55
0
EVALUACIÓN DE MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Marque la respuesta correcta.
1. Los múltiplos de dos son:
A. 2, 4, 5, 7 y 8
B. 1, 2, 3, 4 y 5
C. 2, 4, 6, 8 y 10
D. 3, 6, 9, 12 y 15
2. Los múltiplos de tres son:
A. 2, 4, 5, 7 y 8
B. 1, 2, 3, 4 y 5
C. 2, 4, 6, 8 y 10
D. 3, 6, 9, 12 y 15
3. Sólo de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A. Un número es divisible por cinco si su última cifra de la derecha es cero o tres.
B. Un número es divisible por cinco si su última cifra de la derecha es cero o dos.
C. Un número es divisible por cinco si su última cifra de la derecha es cero o quince.
D. Un número es divisible por cinco si su última cifra de la derecha es cero o cinco.
4. Sólo de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A. Un número es divisible por tres si su última cifra de la derecha es cero o tres.
B. Un número es divisible por tres si su última cifra de la derecha es múltiplo de tres.
C. Un número es divisible por tres si su última cifra de la derecha es cero o cifra par.
D. Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.
5. El 25 es múltiplo de…
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. Los divisores de 12 son:
A. 1, 2, 5, 6 y 12
B. 2, 3, 4, 7 y 12
C. 1, 5 y 12
D. 1, 2, 3, 4, 6 y 12
7. Sólo de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A. El uno es múltiplo de todos los números naturales.
B. El uno es divisor de todos los números naturales.
C. El uno es múltiplo de algunos números naturales.
D. El uno es divisor de algunos números naturales.
8. Los divisores de siete son.
A. 1 y 7
B. 1, 2 y 7
C. 1, 3 y 7
D. Ninguna de las anteriores.
9. Sólo de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A. Los divisores de un número son siempre iguales o mayores al número dado.
B. Los múltiplos de un número son siempre iguales o mayores al número dado.
C. Un número no puede tener más de diez divisores.
D. Un número no puede tener más de diez múltiplos.
10. Sólo de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A. El once solo tiene dos divisores.
B. El once solo tiene dos múltiplos.
C. El once tiene tres divisores.
D. El once no tiene múltiplos.
11. ¿Cuál número es múltiplo de tres?
A. 101
B. 131
C. 151
D. 171
12. ¿Cuál número es divisible por tres?
A. 101
B. 131
C. 151
D. 171
13. ¿Cuál número es divisible por cinco?
A. 101
B. 135
C. 154
D. 107
14. ¿Cuál número es múltiplo de 12?
A. 46
B. 48
C. 64
D. 76
15. Los múltiplos de tres mayores que 20 y menores que 30 son:
A. 21, 25, 27 y 30
B. 21, 24 y 27
C. 21, 24, 27 y 30
D. 24, 27, y 30
16. ¿Cuál de los números no es divisor de 24?
A. 3
B. 6
C. 12
D. 14
17. ¿Cuál de los siguientes números es el múltiplo de cinco mayor de 60?
A. 53
B. 55
C. 65
D. 74
18. El número que es divisible por tres y por cinco es el…
A. 12
B. 15
C. 20
D. 25
19. Los tres primeros múltiplos de 13 son…
A. 1, 3 y 13
B. 13, 26 y 49
C. 13, 27 y 39
D. 13, 26 y 39
20. Los dos primeros divisores de 13 son…
A. 1 y 13
B. 1 y 2
C. 1 y 3
D. 1 y 11
NÚMEROS PRIMOS
Un número primo es aquel que sólo tiene dos divisores; el mismo número y el uno.
Para conocer cuáles son los números primos del 1 al 100,construyamos la siguiente criba.
1) Tachemos con amarillo los números que son múltiplos de dos.
2) Tachemos con azul los números que son múltiplos de tres que no hayan sido tachados con amarillo.
3) Tachemos con rojo los números que son múltiplos de cinco que no hayan sido tachados con amarillo y azul.
4) Tachemos con verde los números que son múltiplos de siete que no hayan sido tachados con amarillo, azul y rojo.
Observemos que los números 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 son primos.
MODO DE SABER SI UN NUMERO DADO ES PRIMO
Para saber si un número dado es primo, se divide éste por cada uno de los números primos menores que él y se obtiene una división que no es exacta en la que el cociente sea igual o menor que el divisor el número dado es primo. Si alguna división es exacta el número dado no es primo.
Ejemplo.
1) Decir si el número 103 primo
Aplicando los criterios de divisibilidad vemos que 103 no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11.
Ahora dividiremos por los números primos menores que él.
101 | 13___
10 7
8
Notamos que el cociente es menor al divisor y que las divisiones por los otros números primos no son exactas, por lo tanto el número dados es primo
2) Decir si el número 853 es primo
Aplicando los criterios de divisibilidad vemos que 853 no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11.
Ahora dividiremos por los números primos menores que él.
853 | 13___
73 65
8
853 | 17___
03 50
853 | 19___
93 44
17
853 | 23___
163 37
2
853 | 29___
273 29
12
Notamos que el cociente es igual al divisor y que las divisiones por los otros números primos no son exactas, por lo tanto el número dados es primo.
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Descomponer un sus factores primos es expresarlo como un producto de factores primos.
Todo número que no es primo puede expresarse como un producto de factores primos, esto se conoce como el principio fundamental de la aritmética.
Para descomponer un número dado en factores primos, escribimos el número dado y después de éste trazamos una línea vertical, dividimos el número dado por el menor de los divisores primos que lo divida exactamente y se escribe a la derecha de la línea, escribiendo el cociente obtenido debajo de número dado y así se continúa con los cocientes que van resultando, hasta llegar a un cociente igual a uno.
Los números usados como divisores son los factores primos; se indica su producto agrupando sus factores primos en forma de potencia, si es posible.
1) Descomponer el número 32 en factores primos
2) Descomponer el número 7100 en factores primos
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dos o más números primos si tienen solamente como divisor común el uno.
Ejemplo
Los números 12, 25 y 40 son primos entre sí, porque el único número que los divide a todos es el uno.
Los números 15,19, 80 y 120 son primos entre sí, porque el único número que los divide a todos es el uno.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El común divisor de dos o más números es otro número que los divide a todos exactamente.
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. En adelante lo abreviaremos mcd.
MANERAS DE HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
POR INSPECCIÓN
Seleccionamos el menor de los números dados y dividimos todos los números dados por éste y si los divide a todos, éste será el mcd.
Pero si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que los divide a todos y ese será el mcd buscado.
POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Para hallar el mcd de dos o más números escribimos los números dados en fila y después del último número, trazamos una línea vertical, dividimos los números dados por el menor de los divisores primos que los divida a todos exactamente y éste se escribe a la derecha de la línea vertical, los cocientes obtenidos se escriben debajo de los números dados. Así se continúa con los cocientes que van resultando, hasta que los cocientes obtenidos sean primos entre sí. El mcd de los números dados, es el producto de los números primos ubicados a la derecha de la línea vertical.
1) Hallar el mcd de 30, 40 y 50.
2) Hallar el mcd de 345, 726 y 861.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Un común múltiplo de dos o más números, es otro número que los contiene a todos un número exacto de veces, es decir, un número que es divisible por todos ellos o el menor de sus múltiplos comunes.
MANERA DE ENCONTRAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MAS NÚMEROS
Para hallar el mcm de dos o más números escribimos los números dados en fila y después del último número trazamos una línea vertical, dividimos los números dados por el menor de los divisores primos que divida exactamente al menos uno de los números dados y , después escribimos los cocientes obtenidos en la segunda fila , si alguno de ellos no es divisible por éste número, se repite en la siguiente fila y así se continúa con las filas que van resultando hasta que los cocientes obtenidos sean todos iguales a uno. El mcm de los números dados, es el producto de los números primos ubicados a la derecha de la línea vertical
1) Hallar el mcm de 30, 40 y 50
1) Hallar el mcm de345, 726Y 861
DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS (M. C. D. Y M. C. M)
DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS (M. C. D. Y M. C. M)
TALLER DE MATEMÁTICAS
GRADO SEXTO
I) Hallar los divisores de cada uno de los siguientes números:
1) 28
2) 32
3) 45
4) 31
5) 49
6) 80
7) 100
8) 400
9) 625
10) 710
II) Determinar los primeros diez múltiplos de cada uno de los siguientes números:
1) 7
2) 9
3) 10
4) 15
5) 20
6) 23
7) 42
8) 120
9) 200
10) 182
III) Decir cuáles de los siguientes números son primos. Además justificar la respuesta.
1) 2
2) 9
3) 13
4) 27
5) 31
6) 71
7) 101
8) 331
9) 351
10) 991
IV) Descomponer en factores primos los siguientes números y escribirlos en forma de potencia.
1) 16
2) 36
3) 50
4) 146
5) 284
6) 784
7) 933
8) 1248
9) 3215
10) 54276
V) Hallar el mcd y el mcm de:
1) 4, 8
2) 20, 30
3) 2, 4, 7
4) 2, 4, 16
5) 5, 10, 15,
6) 20, 40, 60
7) 30, 60, 90
8) 50, 75, 150
9) 3, 5, 7, 9
10) 40, 45, 50
11) 200, 300, 400
12) 54, 72, 90
13) 100, 200, 300
14) 250, 482, 586
15) 472, 586, 874
16) 620, 630, 640
17) 986, 1248,1022
18) 3245, 3458, 3541
19) 3000, 3001,3002
20) 5864, 6431,8645, 9781
Page updated
Google Sites
Report abuse