LA PROBABILIDAD
Para hablar de probabilidades es prudente tener claro los siguientes conceptos.
EXPERIMENTO ALEATORIO: Son aquellos experimentos en los que no se puede predecir (adivinar) el resultado.
Ejemplos
Lanzar una moneda. Al tirar una moneda, no puedo asegurar que va salir cara, porque puede que salga sello.
Lanzar un dado. Al tirar el dado, no puedo estar seguro del número que saldrá.
ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Denotado con "S"
Ejemplos
Al lanzar la moneda sólo hay dos opciones: cara o sello, entonces el espacio maestral es: S={cara, sello} o S={c, s}
Al lanzar la moneda sólo hay seis opciones: uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis, entonces el espacio muestral es: S={uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis} o S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
SUCESO: se llama suceso a cualquier resultado obtenido en un experimento aleatorio.
Ejemplos
Obtener cara al lanzar una moneda..
Obtener un número par al lanzar un dado.
Para calcular el espacio muestral de dos o más experimentos aleatorios independientes, se multiplica los totales de cada uno de espacios muestrales de los experimentos aleatorios.
Ejemplos
1. Se lanza un dado de 6 lados y una moneda ¿Cuantos resultados posibles se pueden obtener? .
Al lanzar el dado se obtienen seis resultados y con la moneda dos.
Los resultados posibles se calculan multiplicando 6 X 2 = 12
S={(c, 1);(c, 2);(c, 3);(c, 4);(c, 5);(c, 6);(s, 1);(s, 2);(s, 3);(s, 4);(s, 5);(s, 6)}
2. Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 si los dígitos no pueden repetirse.
Centenas
4
Decenas
5
Unidades
6
En las unidades puedo colocar cualquiera de los seis números, en las decenas cinco, porque no puedo repetir el que use en las unidades y en las centenas cuatro, porque no puedo usar los empleados en las unidades ni el de las decenas. Por tanto los resultados posibles se calculan multiplicando las posibilidades de las tres casillas. Es decir 4 X 5 X 6 = 120
Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente el resultado de la posibilidad de que un suceso ocurra. La probabilidad se fundamenta en el estudio de la combinatoria y es soporte necesario en los análisis estadísticos
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat.
La probabilidad de un resultado se representa con un número mayor o igual a 0 y menor o igual a 1. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir.
Si un experimento tiene un número de resultados posibles, y algunos de ellos son favorables, la probabilidad de un suceso es el cociente de los resultados favorables y los resultados totales; es decir:
Resultados favorables
P = ---------------------------------
Resultados totales
Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un número par, es el cociente entre 3, que son los tres números pares y 6, que es el total de números que se pueden obtener, es decir: 0,5.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.
La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
Resultados favorables
P = ---------------------------------
Resultados totales
Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la bolsa al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la canica sea azul?
Hay 3 canicas azules y en total hay 7 canicas en la bolsa.
Resultados favorables
P = ---------------------------------
Resultados totales
3
P = ---- = 0,43
7
Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes, 7 amarillas y 5 blancas.
¿Cuál es la probabilidad de que la pelota sea verde?
4
P = ---- = 0,25
16
¿Cuál es la probabilidad de que la pelota no sea blanca?
11
P = ---- = 0,69
16
Estos números se han escrito separadamente en tarjetas y los han puesto juntos en un sombrero: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Una persona saca un número al azar sin mirar dentro del sombrero. ¿Calcula la probabilidad de que el número seleccionado sea 6?
2
P = ---- = 0,14
14
En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes de cada grupo: corazones, diamantes, espadas y clubes. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer naipe que se baraje sea una espada?
13
P = ---- = 0,25
52
EVALUACIÓN DE PROBABILIDADES
1. Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. ¿De cuantas maneras pueden caer simultáneamente ambos dados?
A. 2
B. 6
C. 12
D. 36
2. Se lanzan tres monedas y se observan las caras que quedan hacia arriba. ¿De cuantas maneras pueden caer simultáneamente las tres monedas?
A. 2
B. 6
C. 8
D. 9
3. Se lanza simultáneamente un dado y una moneda. ¿De cuantas maneras pueden caer al mismo tiempo ambos objetos?
A. 2
B. 6
C. 8
D. 12
4. El helado puede venir en un cono, vaso y concha y los sabores son chocolate, fresa y vainilla. ¿De cuantas maneras diferentes se puede servir el helado?
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
5. Se lanza un dado de 6 lados y saca una carta de un mazo de 52 barajas ¿Cuantos resultados posibles se pueden obtener?
A. 52
B. 58
C. 104
D. 312
6. ¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formarse con 6 niñas y 4 niños?
A. 24
B. 10
C. 6
D. 4
7. Rosa posee 5 blusas distintas, 4 pantalones diferentes y 2 pares de zapatos diferentes ¿Cuántas maneras distintas tiene para vestirse utilizando las prendas mencionadas?
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
8. De Estados Unidos a Colombia hay 9 aerolíneas diferentes; ¿de cuántas maneras se puede viajar de Estados Unidos a Colombia y regresar en una aerolínea diferente?
A. 81
B. 72
C. 18
D. 9
9. La cantidad total de números enteros comprendidos entre 200 y 300 que se pueden formar, usando solo las cifras 2, 3, y 4, es igual a:
A. 9
B. 18
C. 24
D. 64
10. ¿Cuántos números de tres cifras no tienen treses ni sietes?
A. 448
B. 648
C. 729
D. 100
11. ¿Cuantos números de cuatro cifras hay que tengan todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos?
A. 54
B. 81
C. 104
D. 625
12. ¿Cuántos números de cuatro cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos?
A. 36
B. 3024
C. 4536
D. 6561
13. En el complemento están regalando cuatro tipos de refrigerio: sandwichs, perros, salchipapas y carne asada; además están obsequiando tres tipos de bebidas, jugo, gaseosa y chocolate. Cuantas combinaciones distintas pueden surgir de los cuatros tipos de comidas y de las 3 bebidas que están regalando.
A. 3
B. 4
C. 7
D. 12
14. Si un alumno debe tomar 6 materias para su horario, si puede escoger entre tres horarios y encada materia tiene 3 maestros diferentes y tiene que escoger uno. ¿De cuantas maneras puede organizar el horario?
A. 54
B. 27
C. 18
D. 12
15. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
A. 30
B. 300
C. 720
D. 100
16. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando tres letras seguidas de tres cifras, omitiendo la eñe por su similitud con la ene? Si se admiten repeticiones.
A. 17.576.000
B. 21.952.000
C. 34.000.000
D. 42.000.000
17. Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 si los dígitos no pueden repetirse.
A. 18
B. 120
C. 216
D. 504
18. Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 si los dígitos pueden repetirse.
A. 18
B. 120
C. 216
D. 504
19. Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar cuatro niños en una banca de cuatro asientos.
A. 4
B. 8
C. 16
D. 24
20. ¿De cuantas maneras diferentes de viajar de una ciudad A a otra C pasando por una B, asumiendo que hay 3 alternativas para ir de A a B, y 4 de B a C?
A. 3
B. 4
C. 7
D. 12
Responde las preguntas 1 al 5 de acuerdo a la siguiente información.
En una bolsa se echan 10 bolitas numeradas del 1 al 10.
1. La probabilidad de obtener un número menor que 4 es:
A. 1/10
B. 3/10
C. 4/10
D. 5/10
2. La probabilidad de obtener un número par es:
A. 0,2
B. 0,5
C. 2
D. 5
3. La probabilidad de obtener el número 3 o 5 es:
A. 2/10
B. 3/10
C. 5/10
D. 3/5
4. La probabilidad de obtener un número mayor o igual a 8 es:
A. 0,2
B. 0,8
C. 0,9
D. 8
5. La probabilidad de obtener un 7 es:
A. 1/10
B. 3/10
C. 7/10
D. 7
Responde las preguntas 6 al 10 de acuerdo a la siguiente información.
Se lanza un dado.
6. La probabilidad de obtener un 7 es:
A. 0
B. 1/6
C. 7/6
D. 7
7. La probabilidad de obtener un 4 es:
A. 0
B. 0,17
C. 0,67
D. 4
8. La probabilidad de obtener un número menor que 6 es:
A. 1/6
B. 5/6
C. 1/10
D. 5/10
9. La probabilidad de obtener el número 3 o 5 es:
A. 2/6
B. 3/6
C. 5/6
D. 2/10
10. La probabilidad de obtener el número mayor que 2 y menor que 4 es:
A. 1/10
B. 1/6
C. 2/6
D. 4/6
Responde las preguntas 11 al 15 de acuerdo a la siguiente información.
Se tiene una bolsa que, que contiene 6 fichas rojas, 5 blancas y 4 azules y 4 negras. Si se selecciona una ficha al azar.
11. La probabilidad de sacar una ficha roja es:
A. 0,21
B. 0,26
C. 0,32
D. 0,6
12. La probabilidad de sacar una ficha blanca es:
A. 1/19
B. 4/19
C. 5/19
D. 6/19
13. La probabilidad de sacar una roja o azul es:
A. 4/19
B. 5/19
C. 10/19 x
D. 19/10
14. La probabilidad de sacar una ficha que no sea negra es:
A. 4/19
B. 4/10
C. 15/19
D. 4
15. La probabilidad de sacar una ficha amarilla es:
A. 0
B. 1/19
C. 4/19
D. 5/19
Responde las preguntas 16 al 20 de acuerdo a la siguiente información.
En un curso de 40 alumnos, 1/2 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés, 1/10 habla los dos idiomas y el resto ninguno de los dos idiomas. Si se selecciona un estudiante al azar.
16. La probabilidad de que un estudiante hable inglés es:
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.5
D. 2
17. La probabilidad de que un estudiante hable sólo un idioma.
A. 0.1
B. 0.25
C. 0.75
D. 0.9
18. La probabilidad de que un estudiante no hable ninguno de los dos idiomas.
A. 0.1
B. 0.15
C. 0.25
D. 0.5
19. La probabilidad de que un estudiante hable español.
A. 0.9
B. 0.1
C. 0.25
D. 0.75
20. La probabilidad de que un estudiante sea bilingüe es:
A. 0.1
B. 0.25
C. 0.75
D. 0.9
EVALUACIÓN DE PROBABILIDADES
Responde las preguntas 1 al 5 de acuerdo a la siguiente información.
En una bolsa se echan 10 bolitas numeradas del 1 al 10.
1) Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5.
2) Calcular la probabilidad de obtener un número par.
3) Calcular la probabilidad de obtener el número 3 o 5.
4) Calcular la probabilidad de obtener un número mayor o igual a 8.
5) Calcular la probabilidad de obtener un 7.
Responde las preguntas 6 al 8 de acuerdo a la siguiente información.
Se tiene un naipe de 52 cartas, de las cuales, 4 están numeradas de 2 al 10 y las letras A, J, Q y K. Además cada una de éstas se clasifican en: tréboles, picas, diamantes y corazones.
6) Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5.
7) Calcular la probabilidad de obtener una letra.
8) Calcular la probabilidad de obtener un número mayor que 4 y menor que 8.
Responde las preguntas 9 al 12 de acuerdo a la siguiente información.
Se lanzan dos dados.
9) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje igual 4.
10) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 9.
11) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje mayor o igual que 7.
12) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 5 y menor o igual 7.
Responde las preguntas 13 al 15 de acuerdo a la siguiente información.
Se tiene una bolsa que, que contiene 3 fichas rojas, 4 blancas y 3 azules.
13) Calcular la probabilidad de que al sacar una ficha blanca.
14) Calcular la probabilidad de que al sacar una roja o azul.
15) Calcular la probabilidad de que al sacar una ficha blanca o azul.
Responde las preguntas 16 al 17 de acuerdo a la siguiente información.
Se lanzan dos monedas.
16) Calcular la probabilidad de obtener dos caras.
17) Calcular la probabilidad de obtener una cara y un sello.
Responde las preguntas 18 al 20 de acuerdo a la siguiente información.
En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés, 1/10 habla los dos idiomas y el resto ninguno de los dos idiomas.
18) Calcular la probabilidad de que un estudiante no hable ninguno de los dos idiomas.
19) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar hable sólo un idioma.
20) Calcular la probabilidad de que un estudiante hable español.
EVALUACION DE PROBABILIDADES
Responde las preguntas 1 al 5 de acuerdo a la siguiente información.
En una bolsa se echan 7 bolitas numeradas del 1 al 7.
1) Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 3.
2) Calcular la probabilidad de obtener un número par.
3) Calcular la probabilidad de obtener el número 3 o 5.
4) Calcular la probabilidad de obtener un número mayor o igual a 5.
5) Calcular la probabilidad de obtener un 7.
Responde las preguntas 6 al 8 de acuerdo a la siguiente información.
Se tiene un naipe de 52 cartas, de las cuales, 4 están numeradas de 2 al 10 y las letras A, J, Q y K. Además cada una de éstas se clasifican en: tréboles, picas, diamantes y corazones.
6) Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 6.
7) Calcular la probabilidad de obtener una jota.
8) Calcular la probabilidad de obtener un número mayor que 2 y menor que 5.
Responde las preguntas 9 al 12 de acuerdo a la siguiente información.
Se lanzan dos dados.
9) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje igual 3.
10) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 5.
11) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje mayor o igual que 4.
12) Calcular la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 5 y menor o igual 7.
Responde las preguntas 13 al 15 de acuerdo a la siguiente información.
Se tiene una bolsa que, que contiene 5 fichas rojas, 5 blancas y 5 azules.
13) Calcular la probabilidad de que al sacar una ficha blanca.
14) Calcular la probabilidad de que al sacar una roja o azul.
15) Calcular la probabilidad de que al sacar una ficha negra.
Responde las preguntas 16 al 17 de acuerdo a la siguiente información.
Se lanzan tres monedas.
16) Calcular la probabilidad de obtener tres caras.
17) Calcular la probabilidad de obtener dos caras y un sello.
Responde las preguntas 18 al 20 de acuerdo a la siguiente información.
En un curso de 40 alumnos, 1/2 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés, 1/10 habla los dos idiomas y el resto ninguno de los dos idiomas.
18) Calcular la probabilidad de que un estudiante no hable ninguno de los dos idiomas.
19) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar hable sólo un idioma.
20) Calcular la probabilidad de que un estudiante hable español.