เรื่องที่ 4 การแยกตัวประกอบของพหุนาม(ต่อ)

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ในกรณีที่พหุนามดีกรีสองแยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน

เช่น x²+4x+4 = (x + 2)(x + 2) = (x+2)²

x²-4x+4 = (x - 2)(x - 2) = (x-2)²

เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า กำลังสองสมบูรณ์

ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ ดังนี้

x²+2ax+a² = (x+a)²

x²+4x+4 = (x+2)²

x²+6x+9 = (x+3)²

x²-2ax+a² = (x-a)²

x²-2x+1 = (x-1)²

x²-8x+16 = (x-4)²

เทคนิค (หน้า + หลัง)² = (หน้า)² + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)²

(หน้า - หลัง) ² = (หน้า)² - 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง) ²

การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ สามารถทำได้โดยใช้แนวคิดดังนี้

(x+1)² = (x + 1)(x + 1) = x²+2(1)x+(1)

(x+2)² = (x + 2)(x + 2) = x²+2(2)x+(4)

(x+3)² = (x + 3)(x + 3) = x²+2(3)x+(9)

(x+4)² = (x + 4)(x + 4) = x²+2(4)x+(16)

จากแนวคิดข้างต้น ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม x²+bx+c เช่น x²+2x-5โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ทำได้ดังนี้

x²+2x-5 = x²+2x-5

= (x²+2x+1)-5-1

= (x+1)²-6

ดังนั้น x²+2x-5 = (x+1)²-6

จาก x²-a² = (x + a)(x - a)

จะได้ (x+1)²-6 = ((x+1)- )((x+1)+ )

= (x+(1- ))(x+(1+ ))