เรื่องที่ 3 การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

นิพจน์ คือข้อความที่อยู่ในรูปการดำเนินการทางพีชคณิตของค่าคงตัวหรือตัวแปร

เช่น 3 , 5xy , 2x+1 , 3a+2b , 6x² เป็นต้น

เอกนาม คือนิพจน์ที่เขียนให้อยู่ในรูปการคูณและค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป

โดยเลขชี้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -10 , 6x , -3ab² , x²y เป็นต้น

ดีกรีของเอกนาม คือผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรในเอกนามนั้น

พหุนาม คือนิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนามหรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เช่น 5+2x , 4x² + 3x – 1 , a - 2b เป็นต้น

ดีกรีของพหุนาม คือดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น

ตัวอย่างที่ 1 จงบอกดีกรีของเอกนามและพหุนามต่อไปนี้

1) 8 เป็นเอกนามดีกรี 0 4) 3x² - 2y เป็นพหุนามดีกรี 2

2) 2x เป็นเอกนามดีกรี 1 5) x³+2x²+1 เป็นพหุนามดีกรี 3

3) -4xy เป็นเอกนามดีกรี 2 6) 5x⁴+15x³+10x²+5 เป็นพหุนามดีกรี 4

ในการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า เรียกว่า การแยกตัวประกอบของ พหุนาม

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ

1) 3x²+3x = 3x(x+1)

2) 8x - 4y = 4(2x-y)

3) 8x⁴- 4x² = 4x²(2x²-1)

4) 6x³y² + 24x²y³ = 6x²y²(x+y)

5) 5x²+35x+60 = 5(x²+7x+12)

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดังกล่าว สามารถทำได้โดยอาศัยแนวคิด ดังนี้

พิจารณาผลคูณของพหุนาม

(x + 1)(x + 2) = (x + 1)(x) + (x + 1)(2)

= x²+x+2x+2

= x²+(1+2)x+2

= x²+3x+2

จากวิธีการหาผลคูณของ (x + 1)(x + 2) จะได้ขั้นตอนของการแยกตัวประกอบของ

x²+3x+2 = x²+(2+1)x+2

= x²+(2x+x)+2

= (x²+2x)+(x+2)

= x(x+2)+(x+2)

= (x + 2)(x + 1)

ในกรณีทั่วไปการแยกตัวประกอบของ เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c ≠ 0

ทำได้โดยการหาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d + e = b ทำให้ = (x + d)(x +e)

ในกรณีทั่วไป = (x + a)(x - a) เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์

สำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามในรูป เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 , c ≠ 0 เช่น ทำได้ดังนี้

1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่คูณกันได้ เช่น (2x)(2x) หรือ (4x)(x)

เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ได้ดังนี้

(2x )(2x ) หรือ (4x )(x )

2) หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งคือ (1)(1) หรือ (-1)(-1)

เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้

(2x + 1)(2x + 1) หรือ (4x + 1)(x + 1)

(2x - 1)(2x - 1) (4x - 1)(x - 1)

3) หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x จะได้