เรื่องที่ 1 จำนวนจริง

จำนวนจริง (Real Numbers)

มนุษย์รู้จักการใช้จำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดาบรรพ์ โดยการใช้ก้อนหินหรือใช้รอยบากบนต้นไม้แทน จำนวนต่างๆ กล่าได้ว่าจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์รู้จักคือจำนวนนับ ต่อมาเมื่อมีการพัฒนามากขึ้น มนุษย์จึง พัฒนาจำนวนชนิดอื่นๆขึ้นเพื่อให้สามารถแทนปริมาณต่างๆ เช่น น้ำหนัก อุณหภูมิ จำนวนประชากร ฯลฯ จำนวนซึ่งสามารถแทนสิ่งเหล่านี้ได้ เรียกว่า จำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง เป็นระบบที่ประกอบด้วย

1) เซตของจำนวนจริง

2) การกระทำของจำนวนจริง คือ การบวกและการคูณ

3) ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน คือ การเท่ากัน และ การไม่เท่ากัน

4) สมบัติหรือกฎเกณฑ์หรือสัจพจน์เกี่ยวกับจำนวนจริง

ในทางคณิตศาสตร์เรามีเซตของจำนวนต่างๆที่เกี่ยวข้องกับเซตของจำนวนจริง ดังนี้

ชนิดของเซตจำนวน

1. เซตของจำนวนนับ (Counting Number) หรืออาจเรียกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติ (Natural Number) หรือเซตของจำนวนเต็มบวก (Positive Integers) เซตของจำนวนนับ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ N = {1, 2, 3, ... }

2. เซตของจำนวนเต็ม (Integers) ประกอบด้วยเซตของจำนวนเต็มบวก (Positive Integers) เซตของ จำนวนเต็มลบ (Negative Integers) และเซตของจำนวนเต็มศูนย์

เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z หรือ I = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z⁺ หรือ I⁺ = {1, 2, 3, ... }

เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z^- หรือ I^- = {-1, -2, -3, ... }

เซตของจำนวนเต็มศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z⁰ หรือ I⁰ = { 0 }

แผนภาพ เวนน์ – ออยเลอร์ แสดงความสัมพันธ์เซตของจานวนเต็ม

จากแผนภาพจะได้ว่า

1. และ เป็นสับเซตของ I⁺ , I^- และ I⁰ เป็นสับเซตของ I

2. I⁺ ∪ I^- ∪ I⁰ = I

3. I⁺ ∩ I^- = ∅ , I⁺ ∩ I⁰ = ∅ และ I^- ∩ I⁰ = ∅

4. N = I⁺ , N ⊂ I

3. เซตของจำนวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนแทนได้ในรูปเศษส่วน เมื่อ และ เป็นจำนวนเต็มที่ หรืออยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ

เซตของจำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เมื่อ และจำนวนตรรกยะประกอบด้วย

1. จำนวนเต็ม ได้แก่ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

2. จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยสวนไม่เป็นศูนย์ เช่น

3. จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น

4. เซตของจำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนในรูป

เศษส่วน เมื่อ และ เป็นจำนวนเต็มที่ หรือไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ แต่เขียนเป็นรูปทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้ เซตของจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ เช่น

(ค่า e เป็นค่าคงที่ที่เกี่ยวกับลอการิทึม)

และทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น 0.242242224... ≈ 0.242

ไม่มีชื่อ — 13 ต.ค. 2009, 7:54:25

Reminder of Field Trip Next Week — 13 ต.ค. 2009, 7:53:50

This Week is Science Week — 13 ต.ค. 2009, 7:52:23