เรื่องที่ 2 สมบัติจำนวนจริง

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ

1. การเท่ากันในระบบจำนวนจริง

การเท่ากันของจำนวนจริง จะใช้สัญลักษณ์ “ = ” แทนการเท่ากันของจำนวนจริง

กล่าวคือ ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงที่เท่ากันแล้ว a = b

สมบัติของการเท่ากัน สมบัติเหล่านี้เป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

1. สมบัติการสะท้อน (Reflexive Property)

ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว a = a

2. สมบัติการสมมาตร (Symmetric Property)

ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติถ่ายทอด (Transitive Property)

ถ้า a = b และ b = a แล้ว a = c .

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน (Addition Property of equality)

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน (Multiplication Property of equality)

ถ้า a = b แล้ว a×c = b×c

2. การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก

ในระบบจำนวนจริง เรียกจำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริงจำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้นว่า เอกลักษณ์การบวก

กล่าวคือ ถ้า z เป็นเอกลักษณ์การบวกแล้ว z + a = a = a + z โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การบวกจำนวนเดียว คือ 0 โดยที่ a + 0 = a = 0 + a

ในระบบจำนวนจริง อินเวอร์การบวกของจำนวนจริง a หมายถึง จำนวนจริงที่บวกกับ a แล้วได้ ผลลัพธ์เป็น 0 ใช้สัญลักษณ์ “ – a ” แทนอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง a

กล่าวคือ ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ a + (-a) = 0 = (-a) + a

ในระบบจำนวนจริงยังมีสมบัติอื่นๆ เกี่ยวกับการบวก กล่าวโดยสรุปสมบัติเกี่ยวกับการบวกของจำนวนจริง มี ดังนี้

สมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ

ในระบบจำนวนจริง เรียกจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งคูณกับจำนวนจริงจำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์ เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้นว่า เอกลักษณ์การคูณ

กล่าวคือ ถ้า b เป็นเอกลักษณ์การคูณ b ต้องไม่เป็น 0 และ ba=a=ab โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การคูณจำนวนเดียว คือ 1 โดยที่

ในระบบจำนวนจริง อินเวอร์การคูณของจำนวนจริง หมายถึง จำนวนที่คูณกับ a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 ใช้สัญลักษณ์ “ ” แทนอินเวอร์สการคูณของจeนวนจริง a

กล่าวคือ ถ้า a เป็นจeนวนจริงใดๆในระบบจำนวนจริงยังมีสมบัติอื่นๆ เกี่ยวกับการคูณ กล่าวโดยสรุปสมบัติเกี่ยวกับการคูณของจำนวนจริง มีดังนี้

สมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ

นอกจากสมบัติการบวก และสมบัติการคูณที่กล่าวไปแล้ว ยังมีสมบัติของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้องกับทั้งการบวกและการคูณเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการแจกแจง กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ