5.3 Comment filtrer les haut-parleurs ?

- une plage de recouvrement importante, et donc l'obligation d'avoir des haut-parleurs sans défaut sur une plage de deux octaves de part et d'autre de la fréquence de raccordement,

- un aigu recevant des basses fréquences, et donc générant plus de distorsion,

- un lobe principal de directivité hors axe.

Pour les Linkwitz d'ordre 2 et 4 :

- une mauvaise réponse temporelle.

Pour le Butterworth d'ordre 3 :

- un lobe principal de directivité hors axe.

Une approche des problèmes de filtrage a été réalisée par L.A.Larsen et présentée dans L'Audiophile n°10 de mai 1979 :

http://6bm8.lab.free.fr/Documentations/Revues/Audiophile/1977-1988/10/FILTRE/FILTRE.html

Sur le sujet du "filtre optimal", j'ai écris une petite série d'article parue également dans L'Audiophile n°34 en 1985 et n°40 en 1987 :

http://6bm8.lab.free.fr/Documentations/Revues/Audiophile/1977-1988/34/FILTRE/FILTRE.html

http://6bm8.lab.free.fr/Documentations/Revues/Audiophile/1977-1988/40/FILTRE/FILTRE.html

Le Linkwitz d'ordre 4 permet d'avoir passe-bas et passe-haut "en phase".

Le terme "en phase", généralement rencontré dans la littérature, est en fait abusif, puisque, comme tout filtre d'ordre 4, la sortie du passe-haut est en avance de phase de 360° sur la sortie du passe-bas.

En régime permanent, ceci est favorable pour le diagramme de directivité dans le domaine de recouvrement (voir Elektor n°107p46 de mai 1987).

Jean-Mac Plantefève a utilisé le logiciel LTSpice afin de simuler différentes configurations :

http://jm.plantefeve.pagesperso-orange.fr/crossover_LTspice.pdf

Elektor a proposé en septembre 1987 ce filtre soustractif :

Ce montage est inspiré de la description d'un filtre à phase linéaire de Lipshitz et Vanderkooy :

http://users.otenet.gr/~athsam/3way_active_crossover_with_linear_phase_eng.htm

On obtient la même chose qu'un classique Linkwitz d'ordre 4 avec un inconvénient supplémentaire : la complexité plus grande du schéma.

En bref : sans intérêt !

Ce type de filtre avec cellule retard à base de passe-tout ne doit pas être confondu avec les filtres soustractifs sans cellule de retard qui présentent beaucoup d'inconvénients (pente limitée à 6dB d'un coté, zone de recouvrement importante...) :

http://sound.westhost.com/articles/derived-xovers.htm

5.3.2 RETARD ET DÉPHASAGE

(Ajout le 22/12/2011)

La confusion entre retard et déphasage étant très fréquente sur les forums de discussion et même, parfois, dans la littérature, le sujet méritait quelques explications...

Déphasage

Prenons un filtre analogique deux voies constitué d'un passe-bas (PB), qui transmet surtout le grave, et d'un passe-haut (PH), qui transmet surtout l'aigu.

Chacune de ces sections (PB et PH) apportera un déphasage par rapport à l'entrée du filtre.

Voici par exemple la phase en fonction de la fréquence des deux sections d'un filtre d'ordre 1 :

Ce graphique amène plusieurs commentaires :

- la phase du passe-bas tend vers 0° aux très basses fréquences ( F/Fc << 1), ce qui est normal puisque le module de la fonction de transfert du passe-bas tend alors vers 1.

- la phase du passe-haut tend vers 0° aux très hautes fréquences ( F/Fc >> 1), ce qui est normal puisque le module de la fonction de transfert du passe-haut tend alors vers 1.

- la différence de phase entre le passe-haut et le passe-bas est constante et indépendante de la fréquence.

En effet, la forme générale de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas d'ordre n est FTPB = 1 / (1+a1*s+a2*s^2+...s^n)

Par ailleurs, la forme générale de la fonction de transfert d'un filtre passe-haut d'ordre n est FTPH = s^n / (1+a1*s+a2*s^2+...s^n).

On peut donc écrire FTPH = FTPB * s^n

La différence de phase entre PH et PB est donc égale à n * 90° et est indépendante de F/Fc.

- la phase du passe-bas est toujours négative, autrement dit la sortie du passe-bas est en retard de phase par rapport à l'entrée.

- la phase du passe-haut est toujours positive, autrement dit la sortie du passe-haut est en avance de phase par rapport à l'entrée.

Ces commentaires peuvent être généralisés à tous les autres filtres comme le Butterworth d'ordre 3 avec une différence de phase constante de 270° entre passe-haut et passe-bas :

Si on s'intéresse à la phase de l'ensemble passe-bas + passe-haut, il faut faire au préalable deux remarques :

- dans les très basses fréquences (F/Fc << 1), l'apport du passe-haut est négligeable et le PB+PH se comporte comme le passe-bas (donc en retard de phase par rapport à l'entrée)

- dans les très hautes fréquences (F/Fc >> 1), l'apport du passe-bas est négligeable et le PB+PH se comporte comme le passe-haut (donc en avance de phase par rapport à l'entrée).

On comprend alors bien qu'entre F/Fc << 1 et F/Fc >> 1 le PB+PH va passer de retard de phase à avance de phase...

C'est ce que montre ce graphe correspondant au Butterworth d'ordre 3 :

Un autre moyen de visualiser le déphasage en fonction de la fréquence est d'utiliser un éditeur de fichier .wav.

Prenons par exemple le début d'un train de sinus 80 Hz échantillonné à 192 kHz (soit une période de 192k/80 = 2400 échantillons) :

et repérons la cinquième bosse négative qui se trouve à l'échantillon 4,75*2400 = 11400.

Appliquons maintenant un passe-haut LR4 à 100 Hz :

On constate que la cinquième bosse négative a avancé et se trouve maintenant à l'échantillon 9965.

Ce passe-haut a donc provoqué une avance de phase de 360*(11400-9965)/2400 = 215°.

Ce qui est exactement le résultat attendu pour F/Fc = 0,8.

Habituellement la phase est définie à +/- 180°.

Cet exemple montre qu'il est important de déplier la phase, c'est à dire d'ajouter ou de retrancher 360° au moment de la transition +/- 180°.

Retard de phase et retard de groupe

Le retard de phase est le ratio - phase/omega avec omega = 2*Pi*F

Le retard de groupe est - la dérivée de la phase par rapport à omega.

Dans le cas particulier ou la phase est proportionnelle à la fréquence (phase = -k*omega), ces deux retards sont identiques.

Toutefois, dans le cas général, le retard de phase est différent du retard de groupe.

Voir par exemple pour le PB+PH d'un Butterworth d'ordre 3 :

La littérature insiste sur le fait de ne pas confondre retard de phase et retard de groupe.

Voir par exemple :

http://www.atela.uhp-nancy.fr/docs/documents/Filtres_analogiques.pdf

Ou ceci :

http://www.scribd.com/doc/67660088/Theorie-Des-Filtres-Analogiques

Voir également cette présentation très claire de Jean-Marc Plantefeve :

En vert le signal d'entrée : un sinus 1 kHz modulé à 125 Hz

En rouge le signal de sortie PB+PH d'un LR2 à 1 kHz.

Le décalage du sinus 1 kHz traduit le retard de phase tandis que le décalage de l'enveloppe du signal traduit le retard de groupe.

http://www.audax.fr/forum/read.php?4,32320,page=5#msg-32523 (lien mort suite à la fermeture du forum Audax en 2015)

Confusion entre retard de phase et retard de groupe

Afin d'illustrer cette confusion fréquente, voici un premier exemple un peu ancien (L'Audiophile n°20 de mai 1981) avec l'enceinte Quadrature.

http://6bm8.lab.free.fr/Documentations/Revues/Audiophile/1977-1988/20/ESTHETIQ/ESTHETIQ.html

Le médium/aigu est ici reculé d'environ 60 cm (soit longueur d'onde/2) du fait d'un filtre du deuxième ordre à 300 Hz.

Deuxième exemple de confusion entre retard et déphasage, extrait d'un livre paru aux éditions Elektor, avec un LR4.

En réalité, si le passe-bas est effectivement en retard de2Pi (360°) sur le passe-haut, cela ne signifie pas que le début du train de sinus du passe-bas démarre 2Pi après celui du passe-haut.

Le début du train de sinus, c'est typiquement du régime transitoire. Il est donc influencé par le retard de groupe et non par le retard de phase.

Le retard de groupe du LR4 (identique pour le PB, le PH et le PB+PH) varie ainsi en fonction de la fréquence :

Dans les basses fréquences (F/Fc << 1) et pour F/Fc = 1 il est égale à environ 0,45/Fc.

En reprenant l'exemple d'un train de sinus de fréquence F :

Voilà ce que l'on obtient après application d'un passe-bas LR4 F/Fc=1 :

Comme attendu, le début du train de sinus met en évidence le retard de groupe (environ 0,45/Fc équivalent ici à 0,45*360=160°) et non le déphasage du passe-bas par rapport au passe-haut (360°).

Troisième exemple de confusion entre retard et déphasage avec un Butterworth d'ordre 3

Il s'agit d'un signal carré à 1 kHz filtré par un Butterworth d'ordre 3 à 3 kHz.

Comme la différence de phase entre le passe-haut et le passe-bas est de 270°, l'auteur propose de reculé l'aigu de 0,75/Fc afin de reproduire correctement le signal carré.

Toutefois le retard de groupe du passe-bas (identique à celui du passe-haut) est le suivant :

En conséquence, un retard de l'aigu de 0,75/Fc ne pourra en aucun cas aligner temporellement le front montant du passe-haut avec le passe-bas.

C'est effectivement ce qui est observé :

Le graphe présenté est donc faux.

Et pourtant, il ressemble à quelque chose de connu.

En effet, dans les mêmes conditions, la réponse du filtre quasi-optimal de Jean-Michel est la suivante :

Extrait du site :

http://freerider.dyndns.org/anlage/LeCleach.htm

Après "inversion temporelle" (c'est à dire application dans un logiciel de traitement d'image d'un miroir gauche-droite), on obtient ceci :

On constatera la ressemblance surprenante avec figure présentée par l'auteur du livre diffusé par Elektor :

Cette malhonnêteté intellectuelle manifeste a beaucoup amusé Jean-Michel...

A ce jour l'auteur ne s'est pas exprimé sur cette curiosité.

5.3.3 LES FILTRES QUASI-OPTIMAUX

(MAJ le 22/12/2011)

Le Butterworth d'ordre 3 a l'avantage de donner une réponse globale (passe-bas + passe-haut) linéaire en tension et en puissance.

Par contre sa réponse en coïncidence présente une bosse de +3 dB, et son retard de groupe n'est pas très régulier dans la zone de raccordement.

Jean-Michel Lecleac'h a été le premier, à ma connaissance, à formuler ainsi les objectifs des filtres optimaux :

- une réponse en tension unitaire pour l'ensemble PB+PH,

- une réponse en coïncidence unitaire pour l'ensemble PB+PH,

Son-Qc_10010.pdf

- un retard de groupe constant du PB+PH.

Les deux premiers critères imposent un raccordement à -6 dB.

Pour atteindre au mieux ces objectifs, Jean-Michel a proposé le premier filtre quasi-optimal en décalant la fréquence du passe-bas à 0,8729*Fc et celle du passe-haut à 1,1456*Fc et en avancant le haut-parleur de grave de 0,22*longueur d'onde.

Oelrich, un audiophile allemand, décrit la mise en œuvre de ce type de filtre sur son site :

http://freerider.dyndns.org/anlage/LeCleach.htm

Le résultat de l'application d'un filtre Butterworth 3kHz à un signal carré 1 kHz donne ceci pour la somme PB+PH :

La distorsion de phase est manifeste.

Après inversion de polarité du passe-haut, on obtient :

C'est un mieux mais la montée du signal carré est lente.

Après application d'un retard sur le passe-haut de 0,22/Fc, on obtient :

Ça commence à ressemblé à quelque chose..

Dernière étape, les décalages des F-3 des passe-bas et passe-haut (afin de viser un raccord à -6dB) :

Un bon moyen de visualiser l'effet d'une modification de la phase sur la courbe de retard de groupe est d'utiliser la feuille de simulation de Jean-Michel Le Cleac'h disponible sur le site de Nicolas Davidenko :

http://ndaviden.club.fr:80/outils/filtre_simul.zip

Une synthèse des interventions de Jean-Michel Lecleac'h sur le forum Audax en novembre 2005 à propos de l'alignement temporel et l'intérêt de la courbe de retard de groupe est présentée sous forme de question-réponse ici :

JMLC_Filtrage_et_alignement.pdf

Ma participation à la recherche du meilleur compromis est la proposition du Quasi-Linkwitz d'ordre 3 qui peut être obtenu par la mise en série d'un Butterworth d'ordre 2 et d'un filtre d'ordre 1 :

Quasi_Linkwitz_ordre3.pdf

Afin d'illustrer l'intérêt de ce type de filtre, prenons un train de 3 sinus :

L'avantage de ce type de signal test est un spectre qui s'étale autour de la fréquence du sinus :

Après application à ce train de sinus du passe-bas de mon "Quasi-Linkwitz" d'ordre 3, on obtient :

Et pour le passe-haut :

La somme des sorties du filtre :

On constatera l'intérêt d'inverser le passe-haut par rapport au passe-bas afin que les deux sorties du filtre soit "en phase" sur la première bosse principale du train de sinus

Le sujet des filtres quasi-optimaux est abordé régulièrement sur différents forums, y compris diyaudio :

http://www.diyaudio.com/forums/multi-way/231594-quasi-optimal-crossover-high-efficiency-loudspeaker-system.html

En juin 2013, Jean-Michel a amélioré sa feuille de calcul, dans le contexte d'une enceinte 2 voies, en intégrant les données relatives aux réponses en fréquence et aux courbes d'impédance des haut-parleurs :

http://www.melaudia.net/zdoc/filtre_2_voies_simulation.xls

http://forums.melaudia.net/showthread.php?tid=3178&pid=24825

(MAJ le 02/10/2015)

Plusieurs topologies de filtres entrent dans la famille des quasi-optimaux.

Une note globale peut être donnée sur la base de plusieurs critères.

Après discussion avec dada, Hervé et jmbee sur sur le forum Audax (actuellement fermé suite aux interventions d'un malade mental PRO), la pondération choisie des critères est la suivante:

30% réponse en tension

30% réponse en coïncidence

15% variation du temps de propagation de groupe dans la zone +/- 1 octave par rapport à la fréquence de raccordement

15% pente de la variation du temps de propagation de groupe dans la zone +/- 1 octave par rapport à la fréquence de raccordement

10% écart entre les phases du passe-haut et du passe-bas à la fréquence de raccordement

Il a été attribué arbitrairement la note globale 10/20 au filtre de JMLC et 20/20 à un filtre idéal.

Le tableau de synthèse est alors le suivant:

Le fichier Excel qui a servi à réaliser cette comparaison est disponible ici:

Comparaison filtres quasi-optimaux.xls

5.3.4 COMMENT CALCULER UN FILTRE PASSIF ?

Les données d'entrée nécessaires au calcul d'un filtre passif sont :

- les courbes d'impédance complexe des haut-parleurs,

- les courbes de réponses en fréquence des haut-parleurs,

- la définition des cibles des courbes de réponses.

L'exemple de calcul d'un filtre passif détaillé ici concerne une enceinte deux voies constituée du 38cm Beyma 15MI100 et de la compression 1" B&C DE250 associée au pavillon RCF H100 :

Filtre_passif_15MI100_DE250.pdf

Le fichier Excel utilisé pour les calculs est disponible :

Calcul_filtre_passif_15PI100_DE250.zip

Les différentes étapes de cette étude ont été :

- mesure des courbes de réponse en fréquence de chaque transducteur avec Adobe Audition associé au plug-in aurora,

- mesure du module et de la phase des impédances complexes de chaque transducteur avec Audiotester,

- modélisation des parties réelles et imaginaires des impédances complexes sous Excel,

- définition du schéma électrique équivalent des filtres+haut-parleurs,

- calcul des fonctions de transfert du passe-bas et du passe-haut,

- minimisation de l'écart entre réponse cible et réponse calculée, par action sur les valeurs des composants du filtre dans une plage de +/-1 octave autour de la fréquence de raccordement, avec la fonction Solveur d'Excel,

- mesure de l'enceinte complète pour vérifier la linéarité de la courbe de réponse globale et le bon alignement temporel.

On notera que l'écart entre la cible Linkwitz d'ordre 4 à 1600Hz et les caractéristiques du filtre (passe-bas à 900 Hz et passe-haut à 3200 Hz) traduit la prise en compte des paramètres réels des haut-parleurs.

Cette fréquence de raccordement est bien adaptée à un usage hi-fi.

Dans le contexte d'une sonorisation à forte puissance, la DE250 montre ces limites. Une fréquence de raccordement plus élevée, de l'ordre de 3kHz, est préférable :

http://www.bcorde.com/index.php?page=118&lg=1

5.3.5 QUELLE FAMILLE DE FILTRES PRÉSENTE LA PLUS FAIBLE ONDULATION TEMPORELLE ?

La fonction de transfert se présente habituellement sous forme de polynôme.

Par exemple, pour un passe-bas Butterworth d'ordre 4 : PB = 1/(p2+1.8477p+1)/(p2+0.7653p+1)

Si les pôles du dénominateur de la fonction de transfert sont complexes, ce qui est le cas de toutes les filtres usuels d'ordre supérieur ou égale à 3, la réponse impulsionnelle va comporter des termes en sin(a*t) et cos(b*t) qui vont se traduire par des oscillations.

Un moyen simple d'avoir uniquement des pôles réels pour éviter les oscillations est de constituer le filtre par une cascade de filtre d'ordre1.

Par exemple pour un passe-bas d'ordre 4 avec raccordement à -3dB à la fréquence de coupure : PB=1/(p/2.3+1)^4

Voici une comparaison des réponses en fréquence des filtres d'ordre 4 de Butterworth, de Bessel et d'une cascade de 4 filtre d'ordre 1:

Après calcul des réponses des réponses impulsionnelles avec le logiciel Maple :

On constatera que le filtre de Bessel présente encore une légère oscillation tandis que la cascade de filtre d'ordre 1 ne présente aucune oscillation:

(MAJ le 15/09/2012)

Passons à la réalisation pratique avec, par exemple, un filtre d'ordre 3 constitué de 3 filtres d'ordre 1 en série.

La première contrainte concerne la fréquence de coupure de chaque filtre d'ordre 1 afin d'obtenir un raccordement correct entre passe-bas et passe-haut.

Le critère retenu est une réponse en tension et une réponse en coïncidence voisines de 0 dB :

Par rapport à la fréquence de raccordement Fc, les filtres d'ordre 1 sont ici à 0,766*Fc pour le passe-bas et à 1,305*Fc pour le passe-haut.

On notera que comme tout filtre "classique", le temps de propagation de groupe de l'ensemble PB+PH montre une variation sensible autour de Fc :

Dans l'optique de se rapprocher d'un filtre quasi-optimal, des essais d'ajout d'un retard sur le passe-haut afin de compenser le retard apporté par le passe-bas ont été réalisés.

Malheureusement les résultats obtenus n'ont pas donner satisfaction.

Comme premier exemple de réalisation concrète, on allons prendre l'exemple d'un filtre passif parallèle à 1 kHz.

Le schéma est le suivant :

Les fonctions de transfert de ce filtre sont :

Par identification avec les fonctions de transfert souhaitées :

PB = 1 / (1 + j*0,766*F/Fc)^3 et PH = ( j*1,305*F/Fc)^3 / (1 + j*1,305*F/Fc)^3

Nous obtenons :

(L1+L2)/R = 3*0,766/(2*pi*Fc)

L1*C1 = 3*0,766^2/(2*pi*Fc)^2

L1*C1*L2/R = 0,766^3/(2*pi*Fc)^3

R*C3 = 3*1,305/(2*pi*Fc)

L3*(C2+C3) = 3*1,305^2/(2*pi*Fc)^2

L3*C2*R*C3 = 1,305^3/(2*pi*Fc)^3

Si on vise une fréquence de raccordement de 1 kHz, et en assimilant les haut-parleurs à des résistances de 8 ohm, les valeurs des composants sont :

L1=2,6mH C1=17µF L2=0,33mH pour le passe-bas

C2=9,7µF L3=1,48mH C3=78µF pour le passe-haut

Comme deuxième exemple de réalisation concrète, on allons prendre l'exemple d'un filtre passif série à 1 kHz.

Un montage possible est le suivant :

Les fonctions de transfert de ce filtre sont :

Jean-Marc Plantefeve a signalé sur le forum Audax un utilitaire très pratique pour obtenir les fonctions de transfert d'un filtre.

http://www.audax.fr/forum/read.php?4,35868 (lien mort du fait de l'arrêt du forum Audax en 2015)

Il s'agit de SapWin :

http://www.prodid.it/Sapwin4/

http://sapwin.software.informer.com/3.0/

Après description du schéma :

Le bouton F(s) donne directement le résultat attendu.

Pour le passe-bas :

Et pour le passe-haut :

Il s'agit d'essayer d'identifier ces fonctions de transfert aux fonctions souhaitées :

Upb/Uin = 1 / (1 + j*0,766*F/Fc)^3 et Uph = ( j*1,305*F/Fc)^3 / (1 + j*1,305*F/Fc)^3

Dans un premier temps nous allons prendre un cas "moyen" avec :

L1 = L2 = L3 = L avec L*2*Pi*Fc = 1

et C1 = C2 = C3 = C avec R*C*2*Pi*Fc = 1

La fonction de transfert du passe-bas s'exprime alors par :

PB = (1 + 2*s + s^2) / (1+ 3*s + 7*s^2 + 8*s^3 + 7*s^4 + 3*s^5 + s^6)

Il apparait que le dénominateur de cette fonction ne peut se simplifier en mettant en facteur (1+s), et encore moins en mettant en facteur (1+s)^2 = 1 + 2*s + s^2.

Dit autrement, il n'y a pas de solution exact à cette identification (quelle que soit la réponse cible visée : Bu3, LR3...), mais une solution approchée.

Le solveur d'Excel a donc été utilisé pour trouver cette solution approchée en minimisant l'écart entre les fonctions de transfert souhaitées et les fonctions de transfert calculées :

Il a été obtenu pour R = 8 ohm :

L1 = 1,69 mH / Fc(kH)

L2 = 1,23 mH / Fc(kHz)

L3 = 3,97 mH / Fc(kHz)

C1 = 20,6 µF / Fc(kHz)

C2 = 6,38 µF / Fc(kHz)

C3 = 15,0 µF / Fc(kHz)

5.3.6 LES FILTRES PASSIFS SÉRIE

(Ajout le 07/02/2012)

Le montage d'un filtre série 2 voies d'ordre 1 est le suivant :

http://www.audiotechno.fr/html/filtre_serie.htm

Les fonctions de transfert, en assimilant les haut-parleurs à des résistances pures (R1 pour l'aigu et R2 pour le grave), sont :

Soit :

Passe-bas (grave) = ( 1 + n1ph*p ) / ( 1 + d1*p + d2*p^2 )

Passe-haut (aigu) = ( n1pb*p + n2*p^2 ) / ( 1 + d1*p + d2*p^2 )

avec : p = j*omega

n1pb = L/R1 n1ph = L/R2

d1 = n1pb + n1ph

n2 = d2 = LC

Les pentes de ce filtre sont celles d'un filtre du premier ordre ( 6 dB/octave ) avec, ce qui est visible graphiquement sur le schéma, aigu + grave = signal d'entrée.

Dans le cas particulier R1 = R2 = R, omega = R/L = 1/RC, on retrouve strictement le comportement d'un classique filtre parallèle 2 voies d'ordre 1 :

Concernant le filtre série 3 voies d'ordre 1, un premier montage "série parallèle" est le suivant :

Le schéma montre clairement que, ici aussi, aigu + medium + grave = signal d'entrée

En prenant R1 (Tweeter) = R2 (Medium) = R3 (Grave) = R, omega1=L1/R=1/(R*C1), omega2=R/L2=1/(R*C2) avec omega2 >> omega1, on retrouve également strictement le comportement d'un classique filtre parallèle 3 voies d'ordre 1 :

(MAJ 2/03/2012)

Si omega2 se rapproche de omega1, on s'éloigne un peu du classique ordre 1 parallèle.

La comparaison entre le filtre série avec omega2/omega1=16 (simulation de Jean-Marc "jimbee" avec F1=250 Hz et F2=4kHz) et le filtre parallèle d'ordre 1 donne ceci :

On retrouve des réponses en fréquences très voisines entre filtres séries (notées PB, PM et PH) et filtres parallèles d'ordre 1 (notées PB1, PM1 et PH1).

En particulier la réponse en coïncidence montre un "pic" de +3 dB qui s’étale sur 6 à 7 octaves.

C'est un inconvénient majeur de ce type de filtre pour ceux qui attache de l'importance à la directivité d'un système de haut-parleurs comme Siegfried H. Linkwitz :

http://www.nextdigital.com.br/Linkwitz_AES1976.pdf

Un deuxième montage "série série" est celle-ci :

Ici aussi, si omega2 >> omega1, le comportement est celui d'un filtre parallèle 3 voies d'ordre 1 avec une réponse en coïncidence montrant deux bosses de +3B :

Si l'écart entre omega2 et omega1 diminue (par exemple omega2/omega1 = 4), on s'éloigne du filtre parallèle d'ordre 1 :

Ces deux types de filtre série 3 voies ont été simulés par Jean-Marc "jimbee" :

http://jimbee.over-blog.com/page-5371974.html

(MAJ le 05/03/2012)

Un troisième montage "série cascade" est le suivant :

Ici aussi, si omega2 >> omega1, le comportement est celui d'un filtre parallèle 3 voies d'ordre 1 avec une réponse en coïncidence montrant deux bosses de +3B :

En diminuant le ratio omega2/omega1, par exemple avec omega2/omega1 = 4, on obtient ceci :

Le grave et le médium restent identiques à ceux obtenus avec un filtre parallèle 6 dB/octave.

Par contre l'aigu s'éloigne un peu du 1er ordre dans las basses fréquences.

Compte-tenu de la non symétrie de ce montage, une variante consiste à inverser grave et aigüe et à adapter les valeurs des composants passifs.

Dans cette configuration c'est le grave qui s'éloignera un peu du premier ordre si omega2/omega1devient relativement faible.

Le site d'Alain "audiotechno" sur le sujet :

http://www.audiotechno.fr/html/filtre_serie.htm

Rappelons que le filtre d'ordre 1 a certains inconvénients :

- la réponse en coïncidence présence une bosse de +3 dB à la fréquence de raccordement (contrairement au filtre "quasi-optimal" qui vise 0 dB),

- la plage de raccordement est très grande, ce qui impose des haut-parleurs avec des réponses en fréquence adaptées,

- la distorsion du médium et de l'aigu est importante (puisqu'ils reçoivent des fréquences trop basses).

Comme la plupart des filtres passifs, il est par ailleurs supposé que l'impédance des haut-parleurs est purement résistive.

Ce qui est loin de représenter la réalité.

(MAJ 31/10/2012)

Le montage d'un filtre série 2 voies d'ordre 2 est le suivant :

Les fonctions de transfert, en assimilant les haut-parleurs à des résistances pures (R1 pour l'aigu et R2 pour le grave), sont :

Pour le passe-haut :

Et pour le passe-bas :

Contenu de la forme de ces fonctions de transfert, il apparait clairement qu'il est impossible de viser des fonctions du deuxième ordre (Butterworth, Bessel, Linkwitz...) lorsque R1 est différent de R2.

Pour le cas particulier R1 = R2 = R, il est possible d'obtenir des fonctions de transfert du 2ème ordre en posant :

L1 = L2 = L et C1 = C2 = C

avec :

L*C*(2*Pi*Fc)^2 = 1

et 2*L*(2*Pi*Fc)/R = racine(2) pour Butterworth, racine(3) pour Bessel ou 2 pour Linkwitz

Dans le cas particulier où :

- la sensibilité du haut-parleur d'aigu est supérieure à celle du haut-parleur de grave,

- l'impédance du haut-parleur d'aigu est supérieure à celle du haut-parleur de grave.

On peut rajouter un pont diviseur avec Rs en série et Rp en parallèle avec le haut-parleur d'aigu.

Dans ces conditions, ces résistances sont définies par :

Rs = Rb-Rh*Rp/(Rh+Rp)

Rp = 1/(-1/Rh+1/(Rb*10^((Sb-Sh)/20)))

Avec :

Rb : résistance du grave

Rh : résistance de l'aigu

Sb : sensibilité du grave

Sh : sensibilité de l'aigu

5.3.7 LE FILTRE BAEKGAARD

(Ajout le 12/03/2012)

Il y a fort longtemps, c'était le moyen-âge : pas d'ordinateur et encore moins d'internet.

Les seules sources d'information était les livres et les revues techniques.

C'est ainsi qu'en mai 1976, j'étais alors lycéen, je tombais en arrêt devant l'article "La mise en phase des haut parleurs - Les techniques B&O" présenté par Charles Pannel dans la revue Hifi Stéréo :

Hifi-Stereo_La_mise_en_phase_des_hauts_parleurs.pdf

Cet article a été probablement pour moi le point de départ de mon intérêt pour les filtres puisque je le suis dis "Tiens le domaine du filtrage n'est pas épuisé, il est encore possible de développer des approches originales".

L'indicateur d'une bonne mise en phase est une bonne réponse sur signal carré.

Il était recherché des filtres (d'ordre > 1) donnant cette bonne réponse.

Pour un filtre d'ordre 2 avec passe-bas et passe-haut en phase, il y a un trou dans la réponse en fréquence à la fréquence de raccordement.

Erik Baekgaard propose de rajouter une cellule de remplissage ayant pour fonction de transfert 1 - passe-bas - passe-haut.

Ainsi à partir de passe-bas et passe-haut de type Butterworth ordre 2, la cellule de remplissage a pour fonction de transfert :

1 - 1/(1+racine(2)*s+s^2) - s^2/(1+racine(2)*s+s^2) = racine(2)*s/(1+racine(2)*s+s^2)

Comme tout filtre soustractif sans usage de délai, cette cellule de remplissage est d'ordre 1.

On notera une réponse en coïncidence avec un pic de + 7,7 dB.

Erik Baekgaard propose également une cellule de remplissage pour des passe-bas et passe-haut en phase de type Butterworth ordre 3.

La fonction de transfert de cette cellule est alors :

1 - 1/(1+2*s+2*s^2+s3) - s^3/(1+2*s+2*s^2+s3) = (2*s+2*s^2)/(1+2*s+2*s^2+s3)

Le pic dans la réponse en coïncidence passe à + 10,7 dB.

A voir les conséquences sur la directivité verticale...

Ces calculs ont été effectués avec Excel, toutefois un logiciel de simulation comme Micro-cap permet de retrouver très rapidement ces réponses en fréquences :

De nos jours, la publication de Erik Baekgaard est disponible ici :

http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=2480

Elle a fait l'objet de plusieurs réalisations concrètes chez B&O avec le procédé Uni-Phase.

Citons les Beovox MS150, M70, S45 et S45-2 :

http://www.beoworld.org/prod_details.asp?pid=868

http://www.beoworld.org/prod_details.asp?pid=869

http://www.beoworld.org/prod_details.asp?pid=665

http://www.beoworld.org/prod_details.asp?pid=666

Quelques échanges sur ce type de filtre :

http://www.diyaudio.com/forums/multi-way/174276-wmtmw-baekgaard.html

Le filtre d'Eric Baekgaard a été "revisité" par Jean-Marc Plantefeve en écartant les fréquences de coupure du passe-bas et du passe-haut :

http://jm.plantefeve.pagesperso-orange.fr/baekgaard.html

5.3.8 LE FILTRE PASSE-TOUT

(Ajout le 20/08/2013)

Comme son nom l'indique, l'objectif de ce type de filtre n'est pas de modifier la réponse en fréquence.

C'est donc le déphasage de la sortie du filtre par rapport à son entrée qui est modifié.

En actif, une structure possible est la suivante :

http://en.wikipedia.org/wiki/All-pass_filter

Avec comme fonction de transfert :

PT = ( RC*p - 1 ) / ( RC*p + 1 )

Le module de cette fonction de transfert est unitaire avec un déphasage sortie / entrée qui passe de 180° aux très basses fréquences (soit un gain de -1) à 0° aux très hautes fréquences (soit un gain de +1).

Aux très basses fréquences, le retard de propagation de groupe est égale à 2/omega0 avec omega0 = 2PI*F0 = 1/RC

En passif, la structure généralement rencontrée est la suivante :

http://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_phase_equaliser

Aux très basses fréquences, le gain est unitaire avec Vout = Vin (puisque les selfs se comportent comme un court-circuit, contrairement aux condensateurs).

Aux très hautes fréquences, le gain est égale à -1 (puisque les condensateurs se comportent comme des court-circuits, contrairement aux selfs).

L'excellent utilitaire SapWin permet de calcule la fonction de transfert à partir du schéma :

http://cirlab.det.unifi.it/Sapwin/

Après simplification par R*(1+LCs^2) et changement de notation, on obtient finalement :

Fonction de transfert (PT) du passe-tout = ( 1 - LC*p^2 ) / ( 1 + 2L/R*p + LC*p^2) avec p=j*omega

Soit PT = ( 1 - s^2 ) / ( 1 + 2/k*s + s^2 ) avec k = R / racine(L/C) s = j*omega/omega0 = j*F/F0 et LC*omega0^2 = 1

Autant le module de la fonction de transfert du passe-tout actif est clairement unitaire et indépendant de la fréquence, autant ce n'est pas obligatoirement le cas pour le passe-tout passif.

En effet la réponse en fréquence va dépendre du paramètre k :

Pour avoir un module de la fonction de transfert unitaire quelque soit la fréquence, il faut respecter la contrainte :

k = 1.

Dans ces conditions, la fonction de transfert normalisée devient :

PT = ( 1 - s^2 ) / ( 1 + 2*s + s^2) soit PT = ( 1 - s ) / ( 1 + s )

On retrouve la fonction de transfert du passe-tout actif.

La phase varie de 0° aux très basses fréquences à -180° aux très hautes fréquences.

La courbe de retard de propagation de groupe est la suivante :

L'intérêt de ce type de filtre apparait ici : il permet d'apporter un retard de groupe dans les basses fréquences.

Concrètement, il faut F/F0 < 0,33 pour avoir au moins 90% du retard maximal égale à 2/omega0.

Une autre disposition possible de ce filtre passe-tout passif est la suivante :

Il suffit toutefois d'inverser les sorties du filtre pour retrouver une configuration identique à la précédente.

Les deux configurations ont donc strictement la même courbe de retard de groupe.

Le filtre passe-tout est utilisé dans certaines enceintes acoustiques pour lesquelles cette méthode d'ajout d'un retard a été préférée à un alignement géométrique.

Un exemple parmi d'autres avec l'enceinte Elipson 7002.

La cellule de filtrage du médium intègre 2 filtres passe-tout et la cellule de l'aigu en rajoute 3 :

Autre exemple avec le kit Sirocco 3-0 d'Atohm :

http://www.atohm.com/images/kit/FICHE-KIT Sirocco 3-0.pdf

Ici le filtre de l'aigu avec le SN20ND04F comprend une cellule passe-tout :

On retrouve la même cellule passe-tout sur le tweeter des autres kits d'Atohm : Sirocco 1-0 et 2-0, Eurus 1-0, Furtive 1-1 et Diablo.

L'objectif présenté par Atohm est de compenser le décalage physique entre médium et tweeter par ajout d'un retard sur l'aigu :

Dans l'exemple des Sirocco, racine(L/C) = racine(0,5m/15u) = 5,8 ohm.

C'est un peu supérieur à l'impédance nominale du haut-parleur (4 ohm) :

http://www.atohm.com/hp.php?hp_ref=8

Soit k = 4 / 5,8 ~ 0,7

On peut donc s'attendre à un creux d'environ -3dB à la fréquence charnière F0.

Avec F0 = 1/ (2*Pi*racine(LC) ) = 1/(2*Pi*racine(0,5m*15u) = 1,8 kHz

Pour les basses fréquences (< 800 Hz), la cellule passe-tout apporte un retard d'environ 0,15 à 0,17 ms soit, exprimé en distance, environ 5 à 6 cm.

L'objectif affiché par Atohm était :

"Les filtres ATOHM intègrent des cellules de calage temporel (ligne à retard) sur les voies aigues afin de compenser le décalage physique entre médium et tweeter"

Toutefois, sachant que le passe-tout est efficace en dessous d'environ 800 Hz et que le tweeter est filtré par un passe-haut à 3 kHz, l'utilité du passe-tout n'est ici pas évidente...

5.3.9 LA CONFIGURATION D'APPOLITO

(Ajout le 02/09/2013)

Cette configuration, appelée également MTM (pour Medium-Tweeter-Méfium) consiste à encadrer le tweeter par deux médiums.

La publication de référence est celle de Joseph A. D'Appolito présentée en 1983 :

"A Geometric Approach to Eliminating Lobing Error in Multiway Loudspeakers"

https://secure.aes.org/forum/pubs/conventions/?elib=11762

Jusqu'à cet article, seul le filtre de Linkwitz-Riley permettait l'obtention d'une courbe en coïncidence plate, c'est à dire un lobe principal de directivité situé dans l'axe.

Pour un filtre de Butterworth d'ordre 3 en prenant une distance entre les haut-parleur (d) égale à la longueur d'onde (lamda) à la fréquence de raccordement, on obtient ce diagramme de directivité :

http://www.rane.com/note160.html

Le pic de directivité est décalé de 15° par rapport à l'axe principal et il y a un pic d'annulation 15° de l'autre coté de l'axe principal.

J. A. D'Appolito propose une configuration appelée (3,2), c'est à dire 3 haut-parleurs et 2 voies, appelée également MTM (pour mid/tweeter/mid), qui consiste à aligner verticalement grave / aigu / grave :

La réponse dans l'axe est ainsi symétrique.

J. A D'Appolito compare ensuite 3 configurations classiques :

- Linkwitz-Riley (d'ordre paire)

http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=2649

http://www.amplificadoresnextpro.com.br/Linkwitz_%20AES%201976.pdf

- Butterworth (d'ordre impaire)

- Filtres complémentaires de Small

http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=2214

En prenant une distance d entre les hauts-parleurs égale à 2/3*lamda (lamda étant la longueur d'onde à la fréquence de raccordement), J.A. d'Appolito constate que les filtres de Butterworth d'ordre 1 ou 3 donnent une réponse polaire plus uniforme.

Remarquons que l'on peut se poser la question de l'intérêt d'avoir une faible directivité suivant l'axe vertical...

En particulier dans le domaine du home-cinéma, où il est généralement recommandé (par exemple par THX) d'avoir une dispersion large dans le sens horizontal et étroite dans le sens vertical.

La disposition (3,2) a été ensuite étudiée par Mithat F. Konar dans cette publication :

" Vertically Symmetric Two-Way Loudspeaker Arrays Reconsidered"

http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=7586

http://www.birotechnology.com/articles/VSTWLA.html

Le premier constat de l'auteur est le suivant :

"Having auditioned a variety of (3,2) systems in a number of different contexts, the author has noted that many (3,2) systems exhibit a characteristic coloration through the midrange that is not suggested by on-axis or approximately on-axis frequency response measurements."

M. F. Konar considère qu'il y a trois interactions :

- entre tweeter et grave du haut,

- entre tweeter et grave du bas,

- entre grave du haut et grave du bas.

M. F. Konar suggère que cette dernière interaction a été sous évaluée dans la publication de J. A. D'Appolito puisqu'elle génère des annulations dans la réponse en fréquence hors axe.

Ainsi avec d=117mm, une distance d'écoute L=2m et un filtre passe-bas de Butterworth d'ordre 3 à 2 kHz, la réponse en fréquence à +/-45° montre une première annulation vers fx = 1 kHz :

Cette fréquence fx de la première annulation est donnée par la relation :

Fx = c_/2/(RACINE((L_*COS(teta_))^2+(d_+L_*SIN(teta_))^2)-RACINE((L_*COS(teta_))^2+(d_-L_*SIN(teta_))^2))

On retrouve alors cette interférence (environ -17,5 dB) dans la réponse en fréquence de l'ensemble passe-bas + passe-haut à +/-45° :

Si l'on souhaite éviter cette annulation, il faut que le niveau sonore de l'aigu soit significatif à cette fréquence fx.

Dans l'exemple ci-dessus (L=2m teta=45°), ceci impose une distance d entre grave et aigu < 61 mm.

Ce qui est physiquement très compliqué à réaliser !

J. A. D'Appolito dans l'article "A High-Power Satellite Speaker," Speaker Builder, vol. 5, pp. 7-14 (4/84) précise qu'un des avantages d'utiliser deux graves est de doubler dans les basses fréquences le volume d'air maximal déplacé..

Toutefois, on peut également doubler les haut-parleurs sans faire appel à la disposition de D'Appolito.

Voir par exemple la B&W 800D :

En conclusion, la configuration de D'Appolito n'est certes pas idéale.

Par contre, ce qui est sûr, c'est que la disposition en horizontal est une horreur absolue !

Un exemple avec la B&W HTM61 :

Même ci cette enceinte est présentée comme une trois voies avec des fréquences de raccordement de 350 et 4000 Hz, la mesure de la réponse en fréquence sur le plan horizontal à 45° (en rouge) et 60° (en bleu) montre qu'il y a un "petit" souci :

http://www.hometheater.com/content/bw-683-surround-speaker-system-measurements

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