2022年度 東北大学幾何セミナー

セミナー情報

Zoom情報は当セミナーのメーリングリスト (ML) でお知らせいたします。MLへの登録希望の方は下記世話人までご連絡ください。

情勢が平常時に向けて回復しつつある状況を鑑み、講演者の希望に応じてZoom+対面のハイブリッド開催を行います。教室は数学棟305号室 (コロナ対策下の定員43名) です。人数の把握のため、対面参加をご希望の方はMLで案内予定の参加登録をお願いします。

次回の予定:


後期セミナーの一覧:

1月24日(火) 15:00--

修論発表予行練習

形式：Zoomによるオンラインセミナー

1月17日(火) 15:00--16:35

①講演者：森 祥仁  氏 (東北大学) 15:00--15:45

タイトル：On non-semisimple quantum invariants

形式：Zoomによるオンラインセミナー

概要：In the 1980s, Witten discovered a relation between quantum field theory and the Jones polynomial. Since then, invariants of 3-manifolds inspired by physics have been obtained. Such invariants are called quantum invariants. One well-studied semisimple quantum invariant is the WRT invariant, which is constructed from small quantum groups. New invariants have been constructed from quantum groups, extensions of small quantum groups in recent years. These invariants are called CGP invariants or non-semi-simple invariants. On the other hand, there are also invariants called homological blocks, which are related to the categorification of WRT invariants. In this talk, we will give the relation between WRT invariants and non-semi-simple invariants at both the level of links and manifolds.

②講演者：Zhangkai Huang  氏 (東北大学) 15:50--16:35

タイトル：Isometric immersions of RCD$(K,N)$ spaces via heat kernels

形式：Zoomによるオンラインセミナー

概要：Given an RCD$(K,N)$ space $({X},\mathsf{d},\mathfrak{m})$, one can use its heat kernel $\rho$ to map it into the $L^2$ space by a locally Lipschitz map $\Phi_t(x):=\rho(x,\cdot,t)$. The space $(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$ is said to be an isometrically heat kernel immersing space, if each $\Phi_t$ is an isometric immersion \textcolor{blue}{after a normalization}. A main result states that any compact isometrically heat kernel immersing RCD$(K,N)$ space is isometric to an unweighted  closed smooth Riemannian manifold. This is justified by a more general result: if a compact non-collapsed RCD$(K, N)$ space has an isometrically immersing eigenmap, then the space is isometric to an unweighted closed Riemannian manifold, which greatly improves a regularity result in \cite{H21} by Honda. As an application of these results, we give a $C^\infty$-compactness theorem for a certain class of Riemannian manifolds with a curvature-dimension-diameter bound and an isometrically immersing eigenmap.

1月10日(火) 15:00--16:30

講演者：大須賀 けん斗  氏 (東京大学)

タイトル：Invitation to Topological Recursion and its Applications 

形式：Zoomによるオンラインセミナー

概要：Topological recursion is a universal recursive formalism which takes a so-called spectral curve as initial data. The output of topological recursion is an infinite sequence of multi-differentials which often become generating functions of some enumerative invariants. Examples include Hurwitz numbers, Gromow-Witten invariants, knot invariants, matrix model amplitudes. Topological recursion has been also applied to construct quantum curves and tau-functions of some integrable system. In this talk, I will focus on giving an introductory overview of topological recursion and its applications in several subjects in mathematical physics. If time permits, I will mention recent progress on a refinement of topological recursion which we may continue discussing after taking a break. 

12月20日(火) 15:00--16:30

講演者：正井 秀俊  氏 (東京工業大学)

タイトル：距離のレシピとそのタイヒミュラー理論への応用

形式：Zoomおよび対面開催によるハイブリッドセミナー

概要：二つの集合の上に定義された実数値関数から，距離を生成する一つのレシピについてお話ししたい. 具体的な例として，ユークリッド距離，双曲距離などの基本的な距離や，タイヒミュラー空間で重要であるタイヒミュラー距離やサーストン距離が紹介するレシピから得られる．その応用として３次元多様体の体積を捉えるタイヒミュラー空間上の距離のつくりかたについて解説する．時間が許せば，新しい距離に関して得られる様々な問題についても議論したい．

12月13日(火) 15:00--16:30

講演者：Xiaobing Sheng  氏 (東京大学)

タイトル：Some obstructions on subgroups of Brin-Thompson groups

形式：Zoomによるオンラインセミナー

概要：Motivated by Burillo, Cleary and Röver’s summary on obstructions of subgroups of Thompson’s group V, we explored on the higher dimensional version of the groups, Brin-Thompson groups nV and SV, a class of infinite dimensional Brin-Thompson groups and an easy class of the twisted version of the Brin-Thompson groups SV_G with some certain conditions. We found that they have similar obstructions as Thompson’s group V on the torsion subgroups and a selection of the interesting Baumslag-Solitor groups are excluded as the subgroups of SV and SV_G.

The talk will start with an introduction on the groups from a (geometric) group theoretic point of view and how the research on Thompson’s group emerged from those contexts.

12月6日(火) 15:00--18:40

修士論文中間発表会

形式：Zoomによるオンラインセミナー

【集中講義】11月28日 (月) -- 12月2日 (金) 

講義名：

担当教員：本間 泰史 氏（早稲田大学）

講義題目(予定)：スピン幾何学と様々な微分作用素

*詳細はこちらをご覧ください。

11月22日(火) 15:30--16:30

講演者：石渡 聡  氏 (山形大学)

タイトル：非対称ブラウン運動の離散近似

形式：Zoomおよび対面開催によるハイブリッドセミナー

概要：昨年、河備氏、難波氏との共同研究によりベキ零被覆グラフをベキ零リー群にうまく実現することにより、非対称ランダムウォークを、劣ラプラシアンにドリフト項がついた作用素により生成される運動に収束させることができる、というタイプの中心極限定理が得られた。これを動機の１つとして、本講演では一般のリーマン多様体において、ラプラシアンにドリフト項、ポテンシャル項を加えた（通常のディリクレ形式から見て）対称とは限らない作用素を生成作用素とする運動（非対称ブラウン運動）の離散近似について得られた結果を解説したい。本講演は慶應義塾大学の河備浩司氏との共同研究に基づく。

11月1日(火) 15:00--16:30

講演者：狩野 隼輔  氏 (東北大学)

タイトル：Unbounded sl(3)-laminations and their shear coordinates

形式：Zoomおよび対面開催によるハイブリッドセミナー

概要：曲面の双曲構造の空間であるタイヒミュラー空間は、ホロノミーにより基本群のPSL(2,R)-表現多様体の部分多様体と思える。高階タイヒミュラー理論とは、このPSL(2,R)を一般の実単純Lie群に一般化するものである。Fock--GoncharovはPSL(n,R)-タイヒミュラー空間の適切な拡張に対しクラスター構造と呼ばれる良い組合せ的性質を持つことを発見した。このクラスター構造を通して、測度付きラミネーションの空間はタイヒミュラー空間のトロピカル化と看做すことができ、同様にして高階のタイヒミュラー空間のトロピカル化として高階の測度付きラミネーションの空間の存在が示唆される。

本公演では、Kuperberg、Frohman--Sikoraらによるsl(3)-スケイン代数の研究を見本にPSL(3,R)の有理測度付きラミネーション（の非有界版）を定義し、それらの成す空間に剪断座標を定めることでクラスター構造が入ることを確認する。

また時間が許せば、これが石橋--湯淺によるsl(3)-スケイン代数の良い基底を与えることについても言及する。

本講演は東北大学の石橋典氏との共同研究（arXiv:2204.08947）に基づく。

10月25日(火) 15:00--16:30

講演者：辻 俊輔  氏 (明治大学)

タイトル：スケイン加群におけるデーン・ツィストの公式がつなぐ２次元トポロジーと３次元トポロジー

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：３次元球面の結び目の量子不変量は、量子群を用いて系統的に得られる不変量である。この量子不変量は、基本群や双曲体積などの幾何の情報を介して得られる不変量に対し、ダイアグラムから直接計算されるという特徴がある。ダイアグラムから量子不変量を計算する際に用いる局所的なタングルの関係式をスケイン関係式と呼ぶ。ある３次元多様体を考え、その中の絡み目（またはタングル）を基底とした自由加群をスケイン関係式で割った商加群をスケイン加群という。曲面と閉区間の積多様体の中の絡み目を考えたときに、スケイン加群に積を考え、これをスケイン代数と呼ぶ。

Turaevは1991年の論文で、スケイン代数がGoldman Lie 代数の「量子化」であることを指摘した。この「量子化」はLie代数の非可換環としての拡張の意味で使われているようだが、Goldman Lie 代数の研究をスケイン代数で行えば量子不変量の情報が得られると予言していたようにも思う。Goldman Lie 代数の研究では、河澄-久野,Massuyeau-Turaevによる、完備Goldman Lie 代数から完備基本群群環への作用によりDehn ツィストの作用を記述する公式が重要な役割をする。本講演では、このGoldman Lie 代数のDehn ツィストの公式について、スケイン代数でも同様の公式が得られたことを紹介する。このDehn ツィストの公式を記述する元は、Dehn手術で得られる整係数ホモロジー球面の量子不変量を計算する際にも用いることができる。本講演では、sl(3)スケイン代数で、Dehnツィストの公式が得られる仕組みをお話ししたいと思います。

デーン・ツィストの公式を用いた２次元トポロジーと３次元トポロジーをつなぐ研究を、本講演では紹介したいと思う。２次元トポロジーと３次元トポロジーをつなぐ研究は、もちろん昔から多くの人にされているが1990年代の研究で森田が発見したCasson核が重要な発見である。森田は、第２ジョンソン準同型を用いて、Casson不変量（量子不変量の１次の係数）が得られるかという問いに対し、第２ジョンソン準同型だけではなくてCasson核とよばれる準同型が必要であることを発見した。スケイン代数の研究では、このCasson核が自然に定義できる。時間が許せば、高次の量子不変量の研究の展望も話したいと思う。


10月11日(火) 15:00--16:30

講演者：Dylan Allegretti 氏 (清華大学)

タイトル：Teichmüller spaces, quadratic differentials, and cluster coordinates

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：In the late 1980s, Nigel Hitchin and Michael Wolf independently discovered a parametrization of the Teichmüller space of a compact surface by holomorphic quadratic differentials. In this talk, I will describe a generalization of their result. I will explain how, by replacing holomorphic differentials by meromorphic differentials, one is naturally led to consider an object called the enhanced Teichmüller space. The latter is an extension of the classical Teichmüller space which is important in mathematical physics and the theory of cluster algebras.

前期セミナーの一覧:

7月26日(火) 15:00--16:00

講演者：Yuanlin Peng  氏 (東北大学)

タイトル：A topological stability theorem of RCD spaces

形式：Zoomおよび対面開催によるハイブリッドセミナー

概要：In this talk, we will introduce a recent topological stability result by Prof. Honda and the speaker. We prove that if a compact RCD(K,N) space is mGH-close to a closed Riemannain manifold, then we can canonically construct a homeomorphism which is Lipschitz-H\"older continuous. Moreover, such homeomorphism is actually a diffeomorphism provided the RCD space is a Riemannian manifold. This result improves Cheeger-Colding's intrinsic Reifenberg theorem. One can easily get access to our paper on arXiv: 2202.06500.

7月12日(火) 15:00--16:30

講演者：Zhe Sun 氏 (IHES)

タイトル：Webs, duality and intersection numbers

形式：Zoomおよび対面開催によるハイブリッドセミナー

概要：The Fock--Goncharov duality conjecture says that the tropical integral points of one space parameterize the canonical linear basis of the regular function ring of its mirror dual. Fock--Goncharov's original geometric topological proof for A_{SL2,S} is to relate both sides to Thurston's measure laminations. In this talk, firstly I will explain my joint work with Daniel Douglas where we relate both sides to Kuperberg's SL3-webs. Then I will explain joint work with Linhui Shen and Daping Weng, where we give a topological intersection number pairing A(Z^t)xX(Z^t)-->Z which allows us to prove the mutation equivarience of the bijection between webs and tropical points.

7月5日(火) 15:00--16:00

講演者：原子 秀一 氏 (東京大学)

タイトル：An application of almost commutative algebras to graded manifolds

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：Almost commutative algebra、あるいは rho-commutative algebra とは、アーベル群により次数付けられた代数であって、その可換性がアーベル群上の commutation factor と呼ばれる2変数関数で与えられるものである。これは可換代数や超代数の一般化であるが、 Lie 代数の Lie 括弧に対しても同様の一般化があり、rho-Lie algebra や epsilon-Lie algebra などと呼ばれている。一方で、向き付け可能な Poisson 多様体に対するモジュラー類の一般化として、向き付け可能なQ多様体に対するモジュラー類が知られている。ここで、Q多様体とは自身との Lie 括弧が0であるような奇ベクトル場を構造として持つ超多様体のことであり、超多様体における向き付け可能性とは Berezinian 束の言葉で定義されるものである。このモジュラー類はQ多様体上の Berezin 体積形式の取りかたに依らない特性類となる。この講演では、関数環が almost commutative algebra であるような次数付き多様体であるrho-多様体の概念を導入し、その上のQ構造、 Berezinian 束、体積形式およびモジュラー類が超多様体の場合と同様に定義できることを、具体例を挙げながら示す。


6月28日(火) 15:00--16:00

講演者：丸山 修平 氏 (名古屋大学)

タイトル：The five-term exact sequence of group cohomology relative to the subcomplex of bounded cochains

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：Gromovの有界コホモロジーは群コチェイン複体の部分複体のコホモロジーとして定義される. 

有界コホモロジーの理論は葉層束(もしくは平坦束)の特性類, 力学系, 幾何学的群論など様々な分野と関連しながら, 現在も盛んに研究されている対象である.

有界コホモロジーの研究, とくに群コホモロジーとの比較の際にその相対コホモロジーを考えるのは自然だが, 「実係数1次相対コホモロジーが擬準同型の空間と同型である」以上のことは講演者の知る限りほとんど研究されていなかった.

本講演では, この相対コホモロジーに関する五項完全列を紹介する. 特にこの五項完全列が, 降下不可能な擬準同型の空間や拡張不可能な不変擬準同型の空間を調べる際にうまく機能することを紹介する.

本講演は川﨑盛通氏(青山学院大), 木村満晃氏(京都大), 松下尚弘氏(琉球大), 見村万佐人氏(東北大)との共同研究に基づく.

6月21日(火) 15:00--16:30

講演者：高橋 淳也 氏 (東北大学)

タイトル：Small eigenvalues of the rough and Hodge Laplacians under fixed volume

形式：Zoomおよび対面開催によるハイブリッドセミナー

概要：閉 Riemann 多様体上の p-形式に作用する Hodge-Laplacian の固有値の持つ幾何学的情報について考える．例えば，関数(0-形式)に作用する Laplacian の固有値は Ricci 曲率の下限と直径により上下から評価できるが，微分形式の場合は，もはやこれらの幾何学的量だけでは抑えられない．さらなる幾何学的量が含まれているが，その詳細は不明である．

 この情報の解明のための一つの方法として，固有値の評価が崩れる場合の状況を調べることが有効である．本講演では，任意の閉多様体上に，p-形式に作用する Hodge-Laplacian と rough Laplacin の正の固有値が 0 に収束するような，体積一定の Riemann 計量の族を構成したので，それを紹介したい．特に，球面の場合には，この Riemann 計量の族を断面曲率が非負という条件も保つように出来る．

  本講演は，Colette Ann'e 氏（フランス，Nantes 大学）との共同研究に基づく．

6月14日(火) 15:00--16:00

講演者：齋藤 隆大 氏 (京都大学)

タイトル：モノドロミックな混合ホッジ加群とirregularホッジフィルトレーション

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：斎藤盛彦による混合ホッジ加群の理論とは、``構成可能層上のホッジ理論"であり、古典的なホッジ理論や、GriffithsやSchmidによるホッジ構造の変形理論、Deligneの混合ホッジ理論、SteenbrinkやZuckerらによる混合ホッジ構造の変形理論を含んでいるものになっている。この理論を用いると、「コンパクトケーラー多様体のコホモロジー群にホッジ構造（ホッジ分解）が入る」という事実の大幅な一般化として、様々なregular D-加群に“カノニカルなホッジ構造”を入れる事ができ、それを利用した広い分野での応用が得られている。

ホッジ加群の更なる一般化が望月拓郎によるツイスターD-加群であるが、その中の良いクラスとして``ホッジ加群のirregular D-加群版"として定式化されるものがDeligne, Sabbah, Yu, Esnaultらによるirregularホッジ理論である。

例えば、ファノ多様体とランダウ-ギンツブルグ(L-G)模型のミラー対称性の研究において、しばしば``L-G模型から作られるGauss-Maninn接続のフーリエ変換"という物体を考えるが、これはirregular D-加群である。従って通常のホッジ加群の理論を適用する事はできないが、これに``irregularホッジフィルトレーション"を入れる事はできる。そして、これがファノ多様体側のホッジ構造と対応し、ミラー対称性の一つの特別な表現になっている事が期待されているが、現状特別な例での検証に留まっている。

それは、irregularホッジフィルトレーションの計算は容易ではなく、その性質も未解明な部分が多いというのが一つの障壁である。そのため、我々はirregularホッジフィルトレーションの理解を進めるために、まず最も単純かつ非自明な例である``モノドロミックな混合ホッジ加群のフーリエ変換上のirregularホッジ構造"の観察から出発する。

この講演では、まず混合ホッジ加群の理論とirregularホッジ理論の解説を行う。そして、モノドロミックな混合ホッジ加群の定義と性質を紹介した後、主結果の一つである、モノドロミックな混合ホッジ加群の記述、を紹介する。最後に、これの応用としてモノドロミックな混合ホッジ加群のフーリエ変換上のirregularホッジフィルトレーションの計算を行う。


この講演は以下の二つの論文が基になっている。

１．The Hodge filtrations of monodromic mixed Hodge modules and the irregular Hodge filtrations [arXiv:2204.13381]

２．A description of monodromic mixed Hodge modules (To appear in Journal für die reine und angewandte Mathematik) [arXiv:2012.14671]

【集中講義】6月13日 (月) -- 6月17日 (金) 

講義名：大域解析学特選／数学総合講義A(修)／幾何学特殊講義GⅢ(博)

担当教員：神保 秀一 氏（北海道大学）

講義題目：非有界なメトリックグラフ上の線型および半線型放物型方程式

*詳細はこちらをご覧ください。

5月31日(火) 15:15--16:45 [普段の時間と異なります。ご注意ください]

講演者：木村 満晃 氏 (京都大学)

タイトル：Invariant quasimorphisms and symplectic geometry

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：擬準同型(quasimorphism)とは, 群上の「準同型に近い」実数値関数である. 

Gを群とし, Nをその正規部分群とするとき, Gの共役により不変なN上の擬準同型をG不変擬準同型という. 

本講演では, 不変擬準同型を用いることにより得られるシンプレクティック幾何への応用, 

特にフラックス準同型に関して観察された新しい現象について説明する. 

(川崎盛通氏(青山学院大), 松下尚弘氏(琉球大), 見村万佐人氏(東北大)との共同研究に基づく)

5月24日(火) 15:00--16:30 

講演者：浅尾 泰彦 氏 (福岡大学)

タイトル：グラフのマグニチュードホモロジー

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：Euler標数の概念は多面体から単体複体、位相空間へと拡張されトポロジーの中心的な考え方であると言って良い。00年代にLeinsterは距離空間に対してその位相的構造ではなく圏論的な構造に着目して、マグニチュードと呼ばれるEuler標数の概念の類似を提案した。またHepworth-WillertonはEuler標数がホモロジーによって圏化されることに対応するよう、マグニチュードの圏化（マグニチュードホモロジー）を構成した。マグニチュード及びマグニチュードホモロジーが距離空間の性質をどう反映しているのか、また既存の不変量とどう関わっているのか、という疑問は講演者にとって非常に興味深い。本講演では対象をグラフに制限し、定義から始めて最近の結果について紹介したい。特に上の２つの疑問についてそれぞれ、グラフの内周・パスホモロジーをキーワードとする結果を説明したい。

5月10日(火) 15:00--16:30

講演者：石橋 典 氏 (東北大学)

タイトル：Wilson lines on the decorated moduli spaces of G-local systems

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：Fock—Goncharovにより導入された点付き曲面上の飾り付き捻れG-局所系のモジュライ空間は自然なクラスター構造を持つことが知られている. 特に、モジュライ空間の有理関数体の中にクラスター代数Aおよび昇クラスター代数Uと呼ばれる特別な部分代数が構成される. これらの代数はモジュライ空間の量子化および圏化, Fock—Goncharov双対性などの研究において重要な役割を果たす. 

これらの代数を幾何学的に調べるため, Gに値を持つモジュライ空間上のWilson線関数を導入する. 今回用いるのは大矢浩徳氏との共同研究 (arXiv:2011.14260) で考察したWilson線の”framed”版となる. 本講演ではモジュライ空間の関数環がWilson線の行列要素により生成されることを示し, 中でも特別な生成元がクラスター単項式として表示できることを示す. 応用として, 上記の代数AおよびUの両者がモジュライ空間の関数環と一致することを示す. 時間が許せば, Wilson線とスケイン代数との関係についてもお話ししたい. 本講演の内容はLinhui Shen氏, 大矢浩徳氏との共同研究 (arxiv:2202.03168) に基づく. 

4月26日(火) 15:00--16:30

講演者：児玉 悠弥 氏 (東京都立大学)

タイトル：Divergence function of the braided-Thompson group 

形式：Zoomを用いたオンラインセミナー

概要：Gerstenにより定義された距離空間のdivergence functionとは、無限遠における「繋がりの強さ」を表す量である。有限生成群を距離空間とみなすことで、群のdivergence functionが定義される。Golan-Sapirは2019年、Thompson群と呼ばれる有限生成無限群が、無限遠において繋がりが強いことを示した。本講演では、その亜種の一つであるbraided Thompson群も同様の性質を持つことを紹介する。時間が許せば、最近の進展についても紹介したい。

【集中講義】4月18日 (月) -- 4月22日 (金) 

講義名：数学特別講義A/幾何学特論D/幾何学特殊講義H III

担当教員：植田 一石 氏 (東京大学数理科学研究科)

講義題目：ミラー対称性の幾何

*詳細はこちらをご覧ください。