2019年度

日時: 毎週火曜日 15:00 -- 16:30

会場: 東北大学 数学棟 305 号室（アクセス）

世話人: 横田 巧（東北大） Email: takumiy @ tohoku.ac.jp

講演者の他薦, 自薦を歓迎します.

(以下, 敬称略)

前期

4月9日 石渡 聡 氏（山形大学）：連結和上のポアンカレ定数

概要：

関数の分散と Dirichlet エネルギーの比の上限で定義されるポアンカレ定数は幾何解析的に重要な量であることが知られている。本講演では非コンパクトリーマン多様体の連結和上のポアンカレ定数の評価についてお話しする。本講演は Bielefeld 大学の A. Grigor'yan 氏、Cornell 大学の L. Saloff-Coste 氏との共同研究に基づく。

4月16日 岩井 雅崇 氏（東京大学）：Recent topics in singular Hermitian metrics

概要：

特異エルミート計量は滑らかさを仮定せず無限大の発散を許した計量である。複素代数多様体へ応用され、代数多様体を複素解析を用いて研究する際には欠かせないものである。本講演では、相対標準束やベクトル束への応用を含む近年の特異エルミート計量の発展を講演者の結果を交えながら紹介する。

4月23日 関 真一朗 氏（東北大学）：相対ハイパーグラフ除去補題について

概要：

見村氏らと勉強を続けてきた Gowers および Nagle-Rödl-Schacht-Skokan によるハイパーグラフ除去補題(HRL)および Conlon-Fox-Zhao によるその相対化(相対HRL)について紹介する。HRLは多次元版 Szemerédi の定理等に応用があり、相対HRLは素数の等差数列に関する Green-Tao の定理などに応用がある。これらは講演者の結果ではないが、時間を見て講演者(専門は数論)の関連する結果や関連しない結果についても話したい。

5月7日 橋本 要 氏（大阪市立大学）：平均曲率零曲面の双複素拡張について

概要：

3次元ユークリッド空間内の平均曲率が至るところ零となる曲面は極小曲面と呼ばれ, 古くから研究されている.3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内においても, 平均曲率が恒等的に零となる曲面は空間的極大曲面と時間的極小曲面からなる平均曲率零曲面と呼ばれ, 近年盛んな研究が行われている. とくに, 型変化する平均曲率零曲面は折り目特異点と密接な関係があることが知られている.本講演では, 平均曲率零曲面の折り目特異点と型変化の間の対応に関する双複素数を用いたアプローチについて説明し, 加藤信氏（大阪市立大学）との共同研究の結果について紹介したい.

5月14日 細野 元気 氏（東北大学）：最良係数のL^2拡張定理と変動理論

概要：

大沢-竹腰のL^2拡張定理は、ある条件を満たす複素多様体Xとその閉部分多様体Vに対して、V上の正則関数をX上の正則関数にL^2ノルムの評価付きで拡張する定理である。近年、定理の評価を最良にしたものが Blocki, Guan-Zhou により証明された。また、その別証明として、変動理論を用いた証明が Berndtsson-Lempert により得られている。これらの進展により、変動理論が最良評価のL^2拡張定理と密接に関わっていることが明らかになってきた。今回は、これまで得られている結果を解説しつつ、L^2拡張定理に関する最新の進展を紹介する。

5月21日 散歩会 案内

5月28日 齋藤 耕太 氏（名古屋大学）：On the dimension of a set which contains (weak) arithmetic progressions in every direction

概要：

In this talk, we mainly discuss the following question: Is it true that a subset of R^d which contains arbitrarily long "weak" arithmetic progressions must have Assouad dimension d? This question can be considered as an analogue of the Kakeya problem for the Assouad dimension and "weak" arithmetic progressions. We show that the answer to this question is "NO". More precisely, we can construct a subset of R^d which contains arbitrarily long "weak" arithmetic progressions in every direction but has Assouad dimension 1.

We also get similar results for arithmetic patches, which are the higher dimensional extension of arithmetic progressions. Moreover, we also  consider an analogue of the Kakeya problem for the Assouad dimension and infinitely long arithmetic progressions, which is the following question: Is it true that a subset of R^d which contains infinitely long arithmetic progressions in every direction must have Assouad dimension d? We show that the answer to this question is "YES" for all d.

6月4日 新田泰文 氏（東京理科大学）：Extremal Kahler metrics and generalized Kahler-Einstein metrics on toric Fano manifolds

概要：

Fano 多様体における Kahler-Einstein metric の一般化として Calabi の extremal Kahler metric と満渕の generalized Kahler-Einstein metric が知られている. 本講演では, toric Fano 多様体におけるこれらの間の関係について, 対応する安定性（それぞれ uniformly relatively K-polystability と uniformly relatively Ding polystability）を比較することで調べる.具体的には, （i）toric Fano 多様体が generalized Kahler-Einstein metric を許容するなら extremal Kahler metric も許容すること, および（ii）extremal Kahler metric を許容するが generalized Kahler-Einstein metric を許容しない4次元 toric Fano 多様体の例を紹介したい. また, これらの計量を許容する toric Fano 多様体の分類についても述べたい. 本講演の内容は齋藤俊輔氏（理研AIP・京都大学）と四ッ谷直仁氏（香川大学）との共同研究に基づく.

6月11日 松村 慎一 氏（東北大学）：On projective manifolds with semi-positive holomorphic sectional curvature

概要：

In this talk, I explain the geometry of a projective manifold (more generally a Kaehler manifold) X with semi-positive holomorphic sectional curvature. I first show that, if X has positive holomorphic sectional curvature, then X is rationally connected, that is, arbitrary two points can be connected by a rational curve (the image of P^1 by a holomorphic map). This result gives an affirmative solution for Yau's conjecture. Moreover I show that, if X has semi-positive holomorphic sectional curvature, X admits a locally trivial morphism from X to Y such that the fiber F is rationally connected and the image Y has a finite etale cover by an abelian variety A. This structure theorem can be seen as a generalization of the structure theorem proved by Howard-Smyth-Wu and Mok for holomorphic "bisectional" curvature. The proof depends on the theory of holomorphic foliations, MRC fibrations, and singular hermitian metrics.

6月18日 集中講義

6月25日 折田 龍馬 氏（首都大学東京）：Existence of pseudo-heavy fibers of moment maps

概要：

Entov と Polterovich は，「閉シンプレクティック多様体 $M$ 上の任意の運動量写像は non-displaceable なファイバーを持つ」ことを示した。ここで，$M$ の閉部分集合 $X$ が non-displaceable であるとは，$M$ の任意のハミルトン微分同相写像 $\phi$ に対して $\phi(X)\cap X\neq\emptyset$ であるときをいう。定理の証明に彼らは，部分シンプレクティック擬状態とよばれる $M$ 上の汎関数 $\zeta$ を導入した。その後，彼らは $\zeta$ を用い，$M$ の heavy な部分集合，superheavy な部分集合のクラスを定義し，「$M$ 上の任意の運動量写像は heavy なファイバーを持つか？」と問題提起した。ここで，heavy ならば non-displaceable であることに注意する。

本講演では，pseudo-heavy という，heavy と non-displaceable の間にある概念を導入し，「$M$ 上の任意の運動量写像は pseudo-heavy なファイバーを持つ」ことを示す。また，$\zeta$ が simple であれば，「pseudo-heavy ならば heavy である」ことを示す。さらに時間が許せば，heavy なファイバーを持たない運動量写像と $\zeta$ の例や，superheavy なファイバーを持つ運動量写像と $\zeta$ の例を挙げる。本講演は川崎盛通氏（京都大学数理解析研究所）との共同研究に基づく。

7月2日 集中講義

7月9日 集中講義

7月16日 幾何と解析セミナー

7月23日 山本 光 氏（東京理科大学）：変形エルミート・ヤン・ミルズ接続入門

概要：

2000年にLeung-Yau-Zaslowによって（限定的な状況で）以下が示された：特殊ラグランジュ部分多様体（通称SLag）に実フーリエ向井変換を施すと変形エルミート・ヤン・ミルズ接続（通称dHYM）になる．このことによって，dHYMの重要性とSLagの重要性が等価であることが分かった．しかしながらdHYMの研究はSLagの研究に比べて非常に少なかった．しかし，2017年から今年までの約２年で急速に研究が進み，深い結果や予想が乱立し始めた．この講演ではdHYMの定義の意味や基本的な性質を初学者にもなるべく分かりやすく伝えることに集中する．講演者の結果もいくつか述べるが，基本的にはこれまでに示されたことと示されていないことについてのサーベイを行う．

7月30日 オープンキャンパス

後期

10月1日 櫻井 陽平 氏（東北大学AIMR）：Ricci曲率が下に有界な有向グラフの幾何解析的性質

概要：

本講演の内容は小澤龍ノ介氏（東北大AIMR），山田大貴氏（総合地球環境学研究所）との共同研究に基づく．Lin-Lu-Yauは無向グラフに対してRicci曲率の概念を導入し，例えばその下からの有界性のもとで種々の幾何解析的性質を導いた．彼らのRicci曲率の有向グラフへの拡張についてはいくつかの候補が挙げられる．我々は有向グラフ上のChungのラプラシアンの定式化に用いられる平均推移確率を用いて新たにLin-Lu-Yau型Ricci曲率を導入した．本講演では，我々のRicci曲率の諸性質，特にその下からの有界性のもとでの比較幾何的性質を紹介する．

10月8日 伊敷 喜斗 氏（筑波大学）：A characterization of metric subspaces of full Assouad dimension

概要：

講演者はタイリング空間という, ユークリッド空間や, 三進カントール集合, シェルピンスキーのガスケットなどを含む距離空間のクラスを導入し, FraserとYuの定理の一般化を証明した. すなわち, タイリング空間の部分距離空間に対して, それが全体の空間と同じAssouad次元を持つための特徴付けを与えた.  この定理の証明のために, 擬錐という接錐と漸近錐の一般化を導入し, 擬錐に対するMackay-Tyson評価の一般化を示した. 本講演では上で述べた特徴付け定理の詳細を報告する.

10月15日 小薗 英雄 氏（早稲田大学理工学術院・東北大学数理連携研究センター）：$L^r$-Helmholtz-Weyl decomposition of vector fields in 3D exterior domains

概要：

3次元Euclid 空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域上において，$L^r$-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira 型分解定理を考察する．ベクトル場の境界条件は，境界に接するものと直交するものの2種類を考える．まず最初に，これらの境界条件を満たす調和ベクトル場の空間が，共に有限次元であることを示す．この事実は扱う領域が非有界であることから，通常の楕円型偏微分方程式系境界値問題に付随する核空間の有限次元性から従うものではない．ここでは，ベクトル場が$L^r$ という弱い意味で無限遠方で減衰することに注目し，ある種のコンパクト性が回復されることを示すことによって，有限次元性が従うことを紹介する．同時にコンパクト領域の場合と異なり，次元数は可積分指数$r$ によって異なることも明らかにする．次に，与えられた任意の$L^r$-ベクトル場が，調和部分とベクトルポテンシャル，スカラーポテンシャルのそれぞれの回転と勾配の和で表現できることを証明する．ただし，その分解の一意性，すなわち直和分解の正当性については，調和部分の境界条件と可積分指数$r=3$ (この3は空間次元と一致)を閾値として分類がなされる．本講演の内容は，Matthias Hieber教授(Darmstadt工科大，ドイツ)，Anton Seyferd 博士（同工科大），清水扇丈教授（京都大），柳澤卓教授（奈良女子大）との共同研究に基づくものである．

10月24日（木）16:30 -- 18:00 合同A棟 801 号室 Bobo Hua 氏（復旦大学）：Harmonic functions on graphs

概要：

We survey some results about discrete harmonic functions on graphs, including Liouville type theorems, dimensional estimates of the space of polynomial growth harmonic functions, etc. Moreover, we discuss some generalizations to ancient solutions of heat equations.

日にちと会場が変更されました。通常とは曜日と時間と会場が異なるのでご注意ください。

10月25日（金）16:30 -- 18:00 合同A棟 801 号室 Genggeng Huang 氏（復旦大学）：Regularity of degenerate Monge-Ampere equations

概要：

In this talk, we will review some regularity results both in uniformly elliptic and degenerate elliptic Monge-Ampere equations. As an application, we talk about the regularity of eigenfunctions and some related uniqueness results.

会場と講演者が変更されました。通常とは曜日と時間と会場が異なるのでご注意ください。

10月29日 高橋 悠樹 氏（東北大学AIMR）：Diophantine property of matrices

概要：

We prove that almost every finite collection of matrices in $GL_d(\mathbb{R})$ and $SL_d(\mathbb{R})$ with positive entries is Diophantine. This immediately implies that the associated Furstenberg measure has the "expected dimension" (joint work with B. Solomyak).

11月5日 早野 健太 氏（慶應義塾大学）：Lefschetz fibrations and topology of symplectic 4-manifolds

概要：

コンパクトシンプレクティック多様体はレフシェッツペンシルの構造を許容することが知られているが、一方で４次元シンプレクティック多様体上のレフシェッツペンシルは、そのモノドロミー表現に着目することにより組み合わせ的に扱うことができる。本講演ではこの組み合わせ的手法を概観した後、それを用いて４次元シンプレクティック多様体の性質に関して得られた結果を紹介する。本講演で紹介する結果はRefik \.{I}nan\c{c} Baykur氏(UMass)および門田直之氏(岡山大)との共同研究に基づくものである。

11月12日 博士課程学生発表

15:00 -- 16:00 竹内 秀 氏（東北大学）：The limit of directed graphs via curvature-dimension conditions

概要：

空間列がある条件を満たすときに極限空間でも同じ条件が成り立つか, という問題は, 幾何解析において重要である. 特に, 曲率が下に有界かつ次元が上に有界であるという条件は曲率次元条件と呼ばれ, 空間収束に関するこの条件の安定性に関する研究としてはSturm, Lott-Villani等が挙げられる.

本発表では, 曲率次元条件の観点から, 有向グラフの辺の重さが無限大に発散する場合にはどのようなグラフに収束するべきかを提起する. また, 現在判明している限りではあるが, そのような収束に関する曲率次元条件の安定性を紹介したい.

16:10 -- 17:10 小林 愼一郎 氏（東北大学）：エントロピー正則化項つき最適輸送について

概要：

古典的に知られているMonge-Kantorovichの最適輸送問題とは、単位当たりのコスト(コスト関数)が与えられたときに、ある確率分布から別の確率分布へ輸送するのにかかる総コストの最小化に関する問題である。

本発表では、総コスト汎関数に相対エントロピー汎関数を正則化項として付け加えた問題(エントロピー正則化最適輸送問題)について、Simone Di MarinoとJean Louetによる論文「The entropic regularization of the Monge problem on the real line」の結果およびその周辺を紹介する。

11月19日 David Tewodrose 氏（Université de Cergy-Pontoise）：A rigidity result for spaces with Euclidean heat kernel

概要：

In this talk I will present a joint work with G. Carron from the University of Nantes. The main result of this work is that a (complete length) metric measure space equipped with a Dirichlet form having an Euclidean heat kernel is necessarily isometric to the Euclidean space. In a first part, I will explain how this result easily provides a new proof of Colding’s almost rigidity theorem and an almost rigidity result for metric measure spaces with an almost Euclidean heat kernel. In a second part, I will provide the main ideas of our proof.

11月26日 博士課程学生発表

15:00 -- 16:00 小野 公亮 氏（東北大学）：算術的離散集合の点の分布とその数論的な応用

概要：

Riemann和は本来Riemann積分に登場する概念だが，これはEuclid空間における離散集合に対して一般化され，定密度(constant density)の概念が定式化される．砂田先生はこの定密度に登場する定数(密度定数)に着目することによりガウスの数学日記にある問題，Lehmerの原始的ピタゴラス数の漸近挙動定理との関連を示した．それとは別の離散集合のにおける密度定数に着目することにより原始的Eisenstein数の漸近挙動を与える．

16:10 -- 17:10 数川 大輔 氏（東北大学）：直積空間の集中と直積ピラミッドの収束

概要：

測度距離空間全体の集合上の距離として, オブザーバブル距離がGromovによって導入された. オブザーバブル距離による測度距離空間の収束を集中という. 本発表では, まず「2つの集中する空間列に対して, それらの直積空間の列は集中するか？」という問題に対してある意味で完全な解答を与える. また, ピラミッドという測度距離空間を一般化した対象がある. これは測度距離空間全体の集合のあるコンパクト化の元として得られる. ピラミッドに対しても同様の問題が考えられるが, それについて得られている結果も紹介したい. 後半の内容は小澤龍ノ介氏(東北大AIMR)との現在進行中の共同研究に基づくものである.

12月3日 集中講義

12月10日 修士論文中間発表（１）15:00 -- 17:50

久保 路 氏（東北大学 理学研究科）：

負の正則断面曲率をもつ射影多様体の標準束 (The canonical bundle of projective manifolds with negative holomorphic sectional curvature)

昆 奨貴 氏（東北大学 理学研究科）：

エネルギー有限調和写像の定値性と正則性 (The constancy and the holomorphicity of harmonic maps of finite energy)

菅原 智志 氏（東北大学 理学研究科）：

有向グラフにおける曲率次元条件の特徴付け (Characterization of curvature-dimension conditions on directed graphs)

森 祥仁 氏（東北大学 理学研究科）：

三次元多様体の量子不変量と位相的場の理論

12月17日 修士論文中間発表（２）15:00 -- 17:10

秋庭 衆 氏（東北大学 理学研究科）：

離散群や無限グラフ上のランダムウォークの漸近挙動 (Asymptotic behavior of random walks on discrete groups and infinite graphs)

臼井 涼太 氏（東北大学 理学研究科）：

有限グラフの接続によるラプラシアンと2-胞体埋め込み (Laplacian depending on the connection of finite graphs and 2-cell embedding)

保田 悠 氏（東北大学 理学研究科）：

有限コクセター群のケイリーグラフにおける推移確率行列の第一固有値 (On the second largest eigenvalues of transition probability matrices on Cayley graphs of finite Coxeter groups)

12月24日 見村 万佐人 氏（東北大学）：Tao のスライスランク法と極値組合せ論

概要：

徳重典英氏（琉球大学）との共同研究に基づく。

有限体上の有限次元ベクトル空間 F_p^n の部分集合 A において、等差数列や特定の連立方程式の `非自明な' 解はいつ存在するであろうか？「A の濃度が（F_p^n の濃度=）p^n に十分近ければ（まともな状況では）存在が言えるであろう」というのがラムゼー型の理論の示唆することである。本講演では、3 項等差数列という最も基本的な場合を例に近年の目覚ましい発展を説明する。具体的には、Croot--Lev--Pach による 2016 年前後のブレイクスルー（の Ellenberg--Gijswijt によるこの文脈への応用）を、Tao による多変数多項式のスライスランクを用いた手法により紹介する。我々の共同研究は連立方程式系についてのものである。時間が余ればこちらも述べる。

（有理）素数 p と有限体 F_p、および、線型写像のランクの定義を知っていればわかるように話したい。

1月7日 博士課程学生発表

15:00 -- 16:00 浅野 喜敬 氏（東北大学）：Vertical 3-manifolds in simplified genus 2 trisections of 4-manifolds

概要：

閉4次元多様体の trisection とは4次元の1-ハンドル体3つの組による，多様体の分割であり，Gay-Kirby によって導入された．これは4次元多様体から実2次元平面へのある安定写像 (trisection map) を構成することにより得られる．Simplified trisection は trisection map のうち，特異値が単純なものであり，Baykur-Saeki により任意の閉4次元多様体に存在することが証明されている． 講演者は安定写像のホモトピー変形を用いることで，次を示したので報告する．

1．simplified (2, 0)-trisection map の値域の中の，特別な3つの弧の定める 3 次元多様体の組のリストを作成した．

2．1．のリストの各元と定義域多様体の対応を与えた．

16:10 -- 17:10 中畑 佑一朗 氏（東北大学）：論文「Jia-Yong Wu Comparison geometry for integral Bakry-Emery Ricci tensor bounds」の紹介。

1月14日 田代 賢志郎 氏（京都大学）：The stability theorem and the continuity of the eigenvalues of the subLaplacian for subRiemannian nilmanifolds

概要：

サブリーマン多様体は, リーマン多様体の一般化で, 接束の部分束に計量を入れることで定義される. サブリーマン多様体上には一般に曲率は定義されず, またそれに収束するリーマン多様体列の曲率は発散するが, 一方で Baudoin や Barilari らにより様々な "曲率次元条件" を満たすこともまた知られてきている. 本講演では, Perelman による位相的安定性定理と, Cheeger--Colding によるラプラシアンの固有値の連続性定理の, サブリーマンべき零多様体の文脈での再現についてお話しする.

1月21日 博士課程学生・ポスドク発表

15:00 -- 16:00 仁昌寺 崇人 氏（東北大学）：Semi-stability of holomorphic vector bundles on a compact Kaehler manifold

概要：

コンパクトケーラー多様体上の正則ベクトル束 E に対して以下の条件が同値であることが知られている:

(1) E が approximate hermitian-einstein structure を持つ.

(2) E は半安定である.

(3) E 上の任意に固定された hermitian metric に対し, ある汎関数 (Donaldson 汎関数と呼ばれる) が下に有界である.

本発表では, Adam Jacobによる論文「Existence of approximate hermitian-einstein structures on semi-stable bundles」におけるコンパクトケーラー多様体上の層の短完全系列 regularization procedure, および (2) ならば (3) の証明の概略を紹介する.

16:10 -- 17:10 中島 啓貴 氏（東北大学）：Box distance and observable distance via optimal transport

概要：

測度距離空間の幾何学における重要な距離として，ボックス距離とオブザーバブル距離が挙げられる．これらは測度距離空間全体の集合上の距離であり，どちらも M. Gromov によって導入された．ボックス距離は初等的な距離であり，測度を考慮したバージョンの Gromov-Hausdorff 距離と思える．一方，オブザーバブル距離は測度の集中現象を元にして定義された距離であり，ボックス距離よりも弱い位相を与える．これらの距離の定義には，パラメータと呼ばれる概念が用いられるがこの概念がボックス距離やオブザーバブル距離の直感的理解をやや難しいものにしている．今回は，最適輸送計画において用いられている輸送計画がパラメータの代わりに利用でき，これらの距離が直感的に理解しやすくなることを説明する．また応用として，これらの距離に関する最適輸送計画の存在が示される．

1月28日 修論発表会予行演習

15:00 -- 15:20 秋庭 衆 氏：離散群や無限グラフ上のランダムウォークの漸近挙動

15:20 -- 15:40 臼井 涼太 氏：有限グラフの接続によるラプラシアンと2-胞体埋め込み

15:40 -- 16:00 森 祥仁 氏：三次元多様体の量子不変量と位相的場の理論

16:00 -- 16:20 久保 路 氏：負の正則断面曲率をもつ射影多様体の標準束

16:20 -- 16:40 昆 奨貴 氏：エネルギー有限調和写像の定値性と正則性

16:40 -- 17:00 菅原 智志 氏：有向グラフにおける曲率次元条件の特徴付け

2月3日（月）〜7日（金） 学位審査会（修士・博士）