Vehículos Espaciales y Misiles

1. Para un vehículo en una misión interplanetaria, resuelva los siguientes dos apartados (1 punto cada uno): 

a) Un vehículo espacial parte de la órbita de la Tierra (habiendo ya abandonado su esfera de influencia) con una velocidad (respecto al Sol) de 39km/s y un ángulo de vuelo de 5 o . Determinar a qué velocidad y ángulo de vuelo llega el vehículo a la órbita de Júpiter (X). Determinar asimismo el tiempo de vuelo. NOTA: Empléese para este apartado el sistema de referencia heliocéntrico, y considérense las órbitas de los planetas coplanarias y circulares con radio igual al semieje mayor de su órbita. 

b) El vehículo pretende realizar en Júpiter una maniobra asistida por gravedad para ganar velocidad. Por razones de seguridad (para evitar el fuerte campo magnético joviano) se determina que el vehículo pasará en su aproximación más cercana a 10 radios jovianos del centro de Júpiter. Determinar las características (a, e) de la hipérbola joviana de la maniobra y el ∆V que se obtiene. Encontrar la velocidad final y ángulo de vuelo final en el sistema de referencia heliocéntrico. Constantes físicas para este problema:µJ = 132712439935,5 km3/s 2 , aL = 1 AU = 149597900 km, µX = 126711995,4 km3/s 2 , aX = 5,2 AU, RX = 71492km. Se puede trabajar en unidades físicas o canónicas (que deberán ser explícitamente definidas, expresándose el resultado final siempre en unidades físicas). 

2. La agencia espacial china (CNSA:China National Space Administration) desea poner en órbita el satélite geoestacionario Dong Fang Hong 101 mediante un vehículo lanzador Changzheng 5. En los siguientes apartados (0.5 puntos cada apartado) se pide realizar un análisis preliminar de la misión. 

a) Dadas las siguientes bases de lanzamiento, elegir razonadamente una base y un azimut de lanzamiento.

 b) El vehículo lanzador coloca al satélite en una órbita de aparcamiento a 250 km de altitud, con una inclinación calculada según los datos del apartado anterior. Diseñar una transferencia de Hohmann, con cambio de plano en la última maniobra, para llevar dicho satélite a una órbita geoestacionaria. Calcular el tiempo de transferencia y el ∆V total necesario.

c) Repetir el apartado anterior con una transferencia bielíptica, eligiendo un radio intermedio igual al triple del radio de la órbita geoestacionaria, y realizando el cambio de plano en dicho radio intermedio. Comparar el resultado con el apartado anterior. ¿Sería posible disminuir el ∆V eligiendo otro radio intermedio? 

d) Entre otros sistemas, el Dong Fang Hong 101 posee un sistema armado anti-satélite (ASAT) que permite disparar cabezas explosivas propulsadas a cualquier ángulo y con una velocidad inicial de hasta 200 km/h (desde un sistema de referencia ligado al propio satélite), que después siguen una trayectoria balística (sin propulsión adicional). Si se desea impactar a un satélite taiwanés también en órbita geoestacionaria que se encuentra a 15o de longitud al Este relativo al Dong Fang Hong 101, ¿con qué velocidad y ángulo debería dispararse el misil? ¿cuánto tardaría en impactar? (Nota: potencialmente hay más de una solución a este problema, pero sólo una es sencilla y tratable analíticamentes, aunque posiblemente demasiado lenta). Constantes físicas para este problema:µL = 398600 km3/s 2 , RL = 6378,14 km, duración de un día sidéreo =23 h 56 m 4 s. Se puede trabajar en unidades físicas o canónicas (que deberán ser explícitamente definidas, expresándose el resultado final siempre en unidades físicas). 

 Problema 1: Solución 

Apartado a.

En primer lugar calculamos las unidades canónicas para un problema heliocéntrico, usando como unidad de distancia 1 AU. 

En este sistema de unidades, 

Los datos iniciales expresados en el sistema de unidades canónico son: 

En primer lugar necesitamos obtener el tipo de órbita y sus parámetros (e,a). En primer lugar,  

De donde obtenemos p de la fórmula 

De la fórmula de la energía específica, 

de donde obtenemos que la órbita es elíptica. Además, como 

obtenemos                                                                                                    a = 3,5029 UA. 

Finalmente, como 

despejando e obtenemos 

Por tanto ya tenemos completamente identificada la trayectoria. Podemos obtener ahora la anomalía verdadera inicial, de la fórmula

Despejando, 

Igualmente, puesto que 

tenemos que 

De la ecuación de las fuerzas vivas,

Finalmente el ángulo de vuelo final lo obtenemos como

Para determinar el tiempo de vuelo, obtenemos las anomalias excéntricas inicial y final de la fórmula 

Se obtiene que 

De la ecuación de Kepler, las anomalías medias son

tenemos que el tiempo desde el perihelio inicial

Por tanto, el tiempo total de la transferencia 

Apartado b. 

Consideremos un sistema de referencia local en la órbita de Júpiter, con la dirección  apuntando en la horizontal local (hacia donde avanza Júpiter) y la dirección 

 apuntando en la vertical local (apuntando hacia el Sol). Por tanto, dado que 

se tiene que

Llamemos a la velocidad de llegada del vehículo, antes de la maniobra,. Puesto que el ángulo de vuelo a la llegada es tenemos que

En un sistema de referencia joviano (es decir, solidario con Júpiter), definido de la misma forma que el anterior, la velocidad del vehículo antes de la maniobra, que denotaremos por 

, será: 

Por tanto,

Ésta es la velocidad V∞ de la hipérbola joviana de la maniobra. Por tanto, usando la fórmula 

donde

Puesto que

Entonces 

Para finalizar el problema debemos calcular , la velocidad tras la maniobra en el sistema de referencia joviano y luego , la misma velocidad en el sistema de referencia heliocéntrico. Para ello formamos una matriz de rotación bidimensional de ángulo δ:  

Por tanto,

Por tanto, 

El ángulo final de vuelo será