Número áureo
Número áureo
Introducción
El número áureo, F, fue el primer número raro es decir irracional descubierto hace muchos siglos por los magníficos matemáticos griegos. Profilaxis, un matemático de esa escuela que medía 4 metros de eslora, lo encontró debajo de una zarzamora mientras buscaba la proporción perfecta -que había perdido su hermana Clítoris de Joroña paseando por el campo.
Sin embargo, hasta que no lo vio, Pitágoras no se lo creyó. Ese fue el origen de la famosa frase "si no lo veo, no lo creo".
Efectivamente, el número era raro, cuando fue descubierto tenía esta forma: ?
Pero los griegos, muy hábiles, lo desenredaron y quedó así: F, y le llamaron número áureo, porque sonaba como muy chico.
Ya sabemos que los griegos se preocupaban mucho por la imagen. Profilaxis no estuvo de acuerdo, pues él quería ponerle su nombre y llamarle número profilaxis, pero sus compañeros lo descartaron por razones estéticas.
Numero áureo
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como "unidad" sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa una sensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste.
El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas tres constantes que son definidas con una letra griega:
p=(3,14159…).
Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
e=(2,71828…)
e, es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)^n. e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1.
F= (1,61803…).
Phi, el número de oro. Matemáticamente hablando, podemos definirlo como aquel número al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismo resultado.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales.
Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo, la planta del Partenón es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es el número áureo. Esta misma proporción está presente en las tarjetas de crédito actuales, entre otras.
Los griegos creían en la existencia de unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que buscaban aplicar en sus esculturas. Durante el renacimiento, dichas proporciones quedaron plasmadas en este famoso dibujo de Leonardo Da Vinci: el "Homo Vitrubio", que ilustra el libro "La Divina Proporción" de Luca Pacioli, editado en 1509.
Definición
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:
Para obtener el valor de
a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son
La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número primo.
Números? - ?(3) - v2 - v3 - v5 - f - a - e - p - d
Binario
1,1001111000110111011...
Decimal
1,6180339887498948482...
Hexadecimal
1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua
Algebraico
HISTORIA DEL NÚMERO ÁUREO
Existen numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.
La razón áurea
El valor numérico de esta razón, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" (f ), es:
La fama que tiene de estético le viene dada por el rectángulo áureo cuya altura y anchura están en la proporción 1 a f .
Rectángulo áureo
Es decir, si siendo su altura a y su anchura b se cumple que
Esto es lo primero que te sugerimos comprobar: que la mayoría de los rectángulos que nos encontramos en nuestra vida cotidiana son áureos. Para ello mide tu D.N.I., un libro, el carnet del instituto o cualquier otro rectángulo que lleves contigo y divide la medida más larga entre la más corta y comprueba si da un número aproximado a f.
Las fachadas de muchos edificios como, por ejemplo, la del Partenón también guardan una proporción aproximada a la razón áurea.
La razón áurea también podemos encontrarla en otras figuras geométricas, por ejemplo el pentágono regular, en el que la razón entre la diagonal y el lado cumple la divina proporción
Pero lo que quizás nos pueda resultar más curioso es la presencia de la razón áurea en la naturaleza. Hay enigmáticas conexiones de la espiral de los nautilus (un tipo de caracola) y las espirales de los girasoles con la razón áurea.
También los cuerpos humanos exhiben proporciones cercanas a la razón áurea, como puede verse comparando la altura total de una persona con la que hay hasta su ombligo.
El número áureo
En el arte
Durante los últimos siglos, creció el mito de que los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción numérica específica, esencial para sus ideales de belleza y geometría. Dicha proporción es conocida con los nombres de. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, esta sigue manteniendo un cierto atractivo como modelo de belleza.
Matemáticamente nace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos y que dice así: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor"
Sean los segmentos:
A: el mayor y B el menor, entonces planteando la ecuación es:
A/B =(A+B)/A
Cuando se resuelve se llega a una ecuación de 2do. grado que para obtener la solución hay que aplicar la resolvente cuadrática.
El valor numérico de esta razón, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:
Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. En su libro Los Elementos (300 a. C.), Euclides demostró la proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción. En la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. Los artistas del Renacimiento la empleaban como encarnación de la lógica divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero, años después, el interés por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian (1872-1944) estructuró sus pinturas abstractas según las reglas de la sección áurea.
También conocido como la Divina Proporción, la Media Áurea o la Proporción Áurea, este ratio se encuentra con sorprendente frecuencia en las estructuras naturales así como en el arte y la arquitectura hechos por el hombre, en los que se considera agradable la proporción entre longitud y anchura de aproximadamente 1,618. Sus extrañas propiedades son la causa de que la Sección Áurea haya sido considerada históricamente como divina en sus composiciones e infinita en sus significados. Los antiguos griegos, por ejemplo, creyeron que el entendimiento de la proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios «estaba» en el número.
Sin duda alguna. es cierto que la armonía se puede expresar mediante cifras, tanto en espacios pictóricos o arquitectónicos, como en el reino de la música o, cómo no, en la naturaleza. La armonía de la Sección Áurea o Divina Proporción se revela de forma natural en muchos lugares. En el cuerpo humano, los ventrículos del corazón recuperan su posición de partida en el punto del ciclo rítmico cardiaco equivalente a la Sección Áurea. El rostro humano incorpora este ratio a sus proporciones. Si se divide el grado de inclinación de una espiral de ADN o de la concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se obtiene la Sección Áurea. Y si se mira la forma en que crecen las hojas de la rama de una planta, se puede ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a la de debajo. El ángulo más común entre hojas sucesivas está directamente relacionado con la Sección Áurea.
En arte y la arquitectura también se han usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades armoniosas de a Sección Áurea. 1 las dimensiones de la Cámara Real de la Gan Pirámide se basan en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corhusier diseño su sistema Modulor basándose en la utilización de la proporción áurea, el pintor Mondrian basó la mayoría de sus obras en la Sección Áurea: Leonardo la incluyó en muchas de sus pinturas y Claude Dehussy se sirvió de sus propiedades en la música. La Sección Áurea también surge en algunos lugares inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones. Y se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la Sección Áurea que las del resto de la población. lo cual supuestamente explica por qué las encontramos bellas.
Propiedades algebraicas
F es el único número real positivo tal que:
La expresión anterior es fácil de comprobar:
F posee además las siguientes propiedades:
Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: Fn = Fn - 1 + Fn - 2, cualquiera sea n entero positivo. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma a1un + k - 1 + a2un + k - 2 + ... + akun, donde ai es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2, a1 = 1 y a2 = 1.Pero podemos «saltear» la potenciainmediatamente anterior y escribir:
Fn = Fn - 2 + 2Fn - 3 + Fn - 4. Aquí k = 4, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2 y a4 = 1.
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:
Fn = Fn - 3 + 3Fn - 4 + 3Fn - 5 + Fn - 6
En general:
;
k un número par, En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2n; donde n es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de F, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de F corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.
El número áureo
es la unidad fundamental «e» del cuerpo y la sección áurea es su inversa, «». En esta extensión el «emblemático» número irracional
cumple las siguientes igualdades:
Representación mediante fracciones continuas
La expresión mediante fracciones continuas es:
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.Representación mediante ecuaciones algebraicas
El número áureo
y la sección áurea son soluciones de las siguientes ecuaciones:
Representación trigonométrica
Estas corresponden al hecho de que el lado de un pentágono regular es f veces la longitud de su radio y de otras relaciones similares en el pentágrama.
En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:
Lo que puede combinarse en la expresión:
Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.Representación mediante raíces anidadas
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.
El teorema general dice:
La expresión (donde ai = a), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea,
Relación con la serie de Fibonacci
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce
siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo:
=1.5, =1.6, y =1.615384..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo italiano Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.
A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Phlipe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
El número áureo en la geometría
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
Relaciones entre las partes del pentágono.
Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
Relaciones entre las partes del decágono.
Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.EL RECTÁNGULO ÁUREO DE EUCLIDES
Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>
Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto
resultando evidente que
de donde, finalmente
Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.
El pentagrama y el número áureo
El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o pentágono regular estrellado. En el pentágono estrellado figura el número áureo infinidad de veces.
Veamos qué relación existe entre el pentágono regular y el pentágono regular estrellado.
Si consideramos el lado del pentágono la unidad, basta aplicar el teorema del coseno al triángulo ABC y resulta que AC es igual al número áureo.
El teorema del coseno afirma que en todo triágulo un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del águlo comprendido.
En nuestro caso, aplicando dicho teorema al triángulo ABC, tendremos:
AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108)
y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta:
AC 2 = 2 - 2 cos (108)
Extrayendo la raiz cuadrada:
AC = 1,6180340...
Considerando el lado del pentágono regular la unidad, (AG = 1), pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones:
¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional 5 1/2, de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de 2 1/2, tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.
Si tienes alguna duda de las relaciones del número áureo con el pentágono estrellado... ¡mira!, y así hasta el infinito. Siempre que encuentres un pentágono regular podrás hacer lo mismo.
Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción.
La Proporción Áurea fascinó como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros días. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta... y también los impresores. En el gráfico de la izquierda se puede apreciar el diseño de la caja y los márgenes de un libro según la normas de la Divina Proporción. En el de la derecha aparece la reproducción de un incunable impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna). Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones divinas. Una joya.
Pentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.
El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea.
El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es f. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.
Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.El Teorema de Ptolomeo y el Pentágono
Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema al cuadrilátero formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden a, y los lados y la base menor miden b, resulta que b2 = a2 + ab lo que implica:
Relación con los sólidos platónicos
El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los vértices de un icosaedro puden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0,f, 1), (0,f, -1), (0, - f, 1), (0, - f, -1), (1, 0,f), (1, 0, - f), (-1, 0,f), (-1, 0, - f), (f, 1, 0), (f, -1, 0), ( - f, 1, 0), ( - f, -1, 0)
Los vértices de un dodecaedro también se puden dar en términos similares: (0, f,f), (0,f, - f), (0, - f,f), (0, - f, - f), (f, 0,f), (f, 0, - f), ( - f, 0,f), ( - f, 0, - f), (f,f, 0), (f, -Phi, 0), (-phi,f, 0), (-phi, -Phi, 0), (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)
Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodeacaedro.
Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo:
Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodeaedro como del icosaedro.
Rectángulo Áureo
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es:
A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo - y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.
En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.
Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectángulo áureo más grande.
Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.).
Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento. EnEspaña, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El Escorial... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.
Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.
El símbolo - para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas.
También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
EL NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEZA
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Concha de nautilus en espiral logarítmica
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:
No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal.
Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a F tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una piña.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus) Hay por lo menos tres espirales logarítmicas en las que se puede encontrar de alguna manera al número áureo. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una mismadirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.4 5 Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las cienciasconsideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.
El número áureo en la religión
Un estudio realizado por la SARU (Science and religion united = ciencia y religión unidas) en noviembre del año 2005, analizó meticulosamente el "Evangelio Prohibido de Judas" descubierto a principios del año 2000(aquel que afirma que en realidad Jesús le pidio a Judas que lo traicione). Entre otros hallazgos, fue notorio el hecho de que se detallaran las medidas de la cruz en la cual Jesucristo fue crucificado, y más sorprendentemente, una de sus características: el trozo de madera más largo de esta medía 3,23 m aproximadamente; mientras que el trozo más corto tenía una longitud aproximada de 2m. Lo curioso fue que notaron que al dividir la longitud del trozo mayor por la del menor se obtiene (usted mismo puede comprobarlo) 1,615, que es el valor aproximado de F.
Otro estudio de la SARU, en este caso sobre el Santo Sudario (la tela en que se cree que Jesús fue envuelto en su sepulcro), en el que se presentan marcas y traumas físicos propios de la crucifixión; demuestra que las marcas alrededor del cráneo que, según se cree, fueron causadas por la corona de espinas, se presentan en forma de espiral logarítmico, y consecuentemente sus espinas siguen la sucesión de Fibonacci. Por lo que se cree, el sudario fue falsificado por Da Vinci.
El número áureo en el ser humano
La Anatomía de los humanos se basa en una relación F estadística y aproximada, así vemos que:
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
El número áureo en la música
Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempodespués de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en
Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.
Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).
El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.
Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos
Vocabulario
Número algebraico
Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica
Segmentos
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos
Mito
Un mito (del griego µ????, mythos, 'cuento') es un relato de hechos maravillosos protagonizado por personajes sobrenaturales (dioses, semidioses, monstruos) o extraordinarios (héroes).
Proporcionalidad
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades
Partenón
El Partenón es uno de los principales templos dóricos que se conservan. Sus dimensiones son: 69,5 metros de largo, 31 de anchura y 10,93 de altura
Conclusiones
El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones áureas.
Es fácil encontrar distintas proporciones áureas en diversas figuras. Este número aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, como elemento de diseño en construcciones arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el reino vegetal (flores, semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen en función de relaciones áureas,...) Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones del cuerpo humano" señala distintas relaciones áureas que existen en el ser humano.
Cuando la razón entre las dimensiones de un rectángulo es el número de oro, el rectángulo recibe el nombre de áureo. Los rectángulos áureos, son proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en el arte.
Número Phi con 10.00o dígitos
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