Електромагнетизм

Глава 3. Електромагнетизм

3.1. Характеристики магнітного поля

Магнітне поле - одна з двох сторін електромагнітного поля, що характеризується впливом на електрично заряджену частинку з силою, пропорційною заряду частинки і її швидкості.

Магнітне поле зображується силовими лініями, дотичні до яких збігаються з орієнтацією магнітних стрілок, внесених в поле (рис. 3.1). Таким чином магнітні стрілки, як би є пробними елементами для магнітного поля.

За позитивний напрямок магнітного поля умовно приймають напрямок північного полюса магнітної стрілки.

Можна стверджувати, що магнітне поле і електричний струм - взаємопов'язані явища.

Навколо провідника, в якому існує струм, завжди є магнітне поле, і, навпаки, в замкнутому провіднику, що рухається в магнітному полі, виникає струм.

Розглянемо кількісні характеристики магнітного поля.

Магнітна індукція - векторна величина, що характеризує магнітне поле і визначає силу, що діє на рухому заряджену частинку з боку магнітного поля. Ця характеристика є основною характеристикою магнітного поля, так як визначає електромагнітну силу, а також ЕРС індукції в провіднику, що переміщається в магнітному полі.

Одиницею магнітної індукції є Вебер, поділений на квадратний метр, або Тесла (Тл):

Абсолютна магнітна проникність середовища - величина, що є коефіцієнтом, що відображає магнітні властивості середовища:

(3.1)

де - магнітна стала, яка характеризує магнітні властивості вакууму.

Одиницю Ом-секунда (Ом·с) називають Генрі (Гн). Таким чином, .

Величину називають відносною магнітною проникністю середовища. Вона показує, у скільки разів індукція поля, створеного струмом у даному середовищі, більше або менше, ніж у вакуумі, і є безрозмірною величиною.

Для більшості матеріалів проникність , постійна і близька до одиниці. Для феромагнітних матеріалів є функцією струму, що створює магнітне поле, і досягає великих значень (10^-2- 10⁵).

Напруженість магнітного поля Н векторна величина, яка не залежить від властивостей середовища і визначається тільки струмами в провідниках, що створюють магнітне поле.

Напрямок вектора Н (рис. 3.1) для ізотропних середовищ збігається з вектором В і визначається дотичною, проведено в даній точці поля (точка А) до силової лінії.

Рис. 3.1. Магнітне поле плоского магніту

Напруженість пов'язана з магнітною індукцією співвідношенням:

(3.2)

Наведені характеристики магнітного поля є основними. Тепер розглянемо похідні характеристики.

Магнітний потік Ф - потік магнітної індукції. На рис. 3.2 показано однорідне магнітне поле, що перетинає майданчик . Магнітний потік Ф через площадку в однорідному магнітному полі дорівнює добутку нормальної складової вектора індукції на площину майданчика:

(3.3)

Рис. 3.2. Однорідне магнітне поле

Магнітна напруга на ділянці (рис. 3.3, а) в однорідному магнітному полі визначається як добуток проекції вектора на відрізок і довжину цього відрізка :

(3.4)

Рис. 3.3. До визначення магнітної напруги

У тому випадку, коли поле неоднорідне або ділянку, уздовж якого визначається, чи не прямолінійний (рис. 3.3, б), необхідно розбити цю ділянку на елементарні відрізки . Тоді в межах малої ділянки поле можна вважати однорідним або сама ділянка прямолінійним і знайти на ділянці :

.

Повна магнітна напруга на ділянці :

(3.5)

3.2. Закон повного струму

Закон повного струму, в ряді випадків, дозволяє встановити залежність між напруженістю магнітного поля і створюваними його струмами.

Розглянемо довільний контур довжиною (рис. 3.4), що обмежує поверхню . Через цю поверхню проходять струми і , що створюють магнітне поле.

Алгебраїчну суму струмів, які пронизують поверхню, обмежену замкнутим контуром, називають повним струмом і позначають .

Виберемо позитивний напрямок обходу контуру, як показано на рис. 3.4. Тоді відповідно до правила свердлика струму позитивний, а струм від'ємний. Для нашого випадку повний струм .

Рис. 3.4. До визначення закона повного струму

Так як магнітне поле неоднорідне, магнітне напруга визначається за формулою (3.5).

Слід пам'ятати, що добуток беруть зі знаком плюс, якщо напрямок проекції збігається з вибраним напрямком обходу.

Магнітну напругу, обчислену вздовж замкнутого контуру, називають магніторушійною силою (МРС) або силою, що намагнічує .

Дослідним шляхом встановлено, що:

(3.6)

Сила, що намагнічує уздовж контуру дорівнює повному. току, що проходить крізь поверхню, обмежену цим контуром. У цьому полягає сенс закону повного струму.

3.3. Магнітне поле прямолінійного струму

Магнітне поле прямолінійного провідника зі струмом має вигляд концентричних кіл (рис. 3.5, а). Напрямок поля визначають за правилом свердлика. Внаслідок симетрії напруженість поля у всіх точках, рівновіддалених від осі провідника, однакова. Як контур, виберемо коло радіусом r, що збігається з силовою лінією поля. Так як контур збігається з магнітною лінією, довжина вектора напруженості і його проекція на дотичну в будь-якій точці рівні між собою: .

знаходимо за формулою (3.6): . Так як , у всіх точках контуру радіуса r однакова, то:

.

Повний струм . Отже,

, (3.7)

звідки Формула (3.7) справедлива для провідника нескінченної довжини, але практично нею користуються і тоді, коли довжина провідника значно більше відстані .

Рис. 3.5. Магнітне поле прямолінійного струму (а), визначення при , яке порівнюється з (б)

Розглянемо випадок, коли і точка , в якій необхідно визначити напруженість поля, знаходиться на відстані, порівнянній з (рис 3.5, б). Методика розрахунку зводиться до наступного. Поєднуючи точку з кінцями провідника довжиною , отримуємо трикутник з кутами α і β. Формула, за допомогою якої обчислюють , дається без виведення і випливає із закону Біо - Савара, що не розглядається в даному посібнику:

(3.7 a)

Якщо наближати точку до провідника або подовжити провідник, то вираз в дужках буде прагнути до двох і формула (3.7 а) може бути замінена формулою (3.7).

Приклад 3.1. На відстані від вісі довгого промолінійного провідника зі струмом напруженність поля .

Розв’язання. Так як напруженість поля в цьому випадку розраховують за формулою (3.7), струм у провіднику .

3.4. Магнітне поле кільцевої та циліндричної котушок

Магнітне поле кільцевої котушки має вигляд концентричних кіл і зосереджено всередині котушки (рис. 3.6). Напрямок поля визначається за правилом правої руки: якщо праву руку розташувати уздовж котушки так, щоб чотири пальці збігалися з напрямом струму в витках котушки, то відігнутий великий палець покаже напрямок поля.

Рис. 3.6. Магнітне поле кільцевої котушки

При симетричному намотуванні котушки напруженість у всіх точках, рівновіддалених від центру, буде однакова. Розглянемо контур, що співпадає з магнітною лінією радіусом . Поверхня, обмежену цим контуром, перетинає повний струм , де - число витків котушки.

уздовж цього контуру , де - довжина контуру.

Застосувавши закон повного струму, отримаємо:

. (3.8)

Ця формула справедлива для визначення напруженості поля в точках середньої частини циліндричної котушки (рис. 3.7, а) за умови, що . Необхідно звернути увагу на те, що конфігурація поля такої котушки аналогічна конфігурації поля плоского магніту.

Рис. 3.7. Магнітне поле довгою (а) і короткою (б) циліндричних котушок

Для випадку, коли довжина порівнянна з (рис. 3.7, б), напруженість поля в точках, розташованих на осі котушки, розраховують за такою методикою. Поєднавши точку з краями котушки, отримаємо трикутник з кутами α і β. Тоді формулу для розрахунку можна записати у вигляді:

(3.8 a)

При зміні співвідношення між і в бік збільшення вираження в дужках наближається до двох і формула (3.8 а) може бути замінена формулою (3.8). Практично прийнято, що для знаходження напруженості поля в точках середньої частини котушки при можна користуватися формулою (3.8).

Приклад 3.2. По циліндричній котушці довжиною і діаметром з числом витків проходить струм . Обчислити напруженість поля на вісі котушки у точці рівновіддаленої від країв котушки.

Рішення. Так як довжина котушки майже у 5 разів більша її діаметру, застосовуємо формулу (3.8):

.

З.5. Намагнічування феромагнітних матеріалів

Матеріали, що володіють великою магнітною проникністю, називають феромагнітними. До них відносяться залізо, нікель, кобальт і їхні сплави. Опинившись у зовнішньому магнітному полі, ці матеріали значно посилюють його. Це явище спрощено можна пояснити таким чином.

Феромагнітні матеріали мають області мимовільного намагнічування. Магнітний стан кожної з таких областей характеризується вектором намагніченості. Вектори намагніченості окремих областей (доменів) орієнтовані випадковим чином. Тому намагніченість феромагнітних тіл у відсутність зовнішнього магнітного поля не проявляється.

Якщо феромагнітне тіло помістити в зовнішнє магнітне поле, то під його впливом відбудуться зміни, в результаті яких вектори намагніченості окремих областей мимовільного намагнічування будуть орієнтовані в напрямку зовнішнього поля. Індукція результуючого магнітного поля буде визначатися як індукцією зовнішнього поля, так і магнітної індукції окремих доменів, тобто результуюче значення індукції буде набагато перевищувати її початкове значення. Таким чином, сумарне магнітне поле значно перевищить зовнішнє поле.

Магнітний стан феромагнітного поля характеризується кривою намагнічування. Розглянемо процес намагнічування феромагнітного сердечника, поміщеного в котушку зі струмом (рис. 3.8).

Рис. 3.8. До опису процесу намагнічування

феромагнітного осердя

Припустимо спочатку, що сердечник відсутній. Тоді при збільшенні струму в котушці магнітна індукція змінюється по лінійному закону, так як (рис. 3.9).

Тепер будемо вважати, що котушка має сердечник, який в початковому стані розмагнічений. У міру збільшення струму в котушці магнітна індукція в осерді швидко зростає (ділянка 0-1 кривої намагнічування; рис. 3.9). Це пояснюється орієнтацією векторів намагніченості феромагнітного сердечника. Потім інтенсивність орієнтації сповільнюється (ділянка 1-2 кривої намагнічування); точка 2 відповідає магнітному насиченню, тобто, при деякому значенні напруженості поля всі домени зорієнтовані і при подальшому збільшенні струму в котушці індукція поля зростає так само, як вона зросла б при відсутності сердечника.

Рис. 3.9. Крива намагнічування заліза

3.6. Циклічне перемагнічування

Якщо через котушку пропускати струм, який змінює свій напрямок, то сердечник буде перемагнічуватися. Розглянемо цей процес (рис. 3.10). При збільшенні струму в котушці магнітна індукція зростає до індукції насичення (точка а). При зменшенні струму магнітна індукція знижується, але так, що при тих же значеннях Н вона виявляється більше значень магнітної індукції, відповідних збільшення струму. Це пояснюється тим, що частина доменів ще зберігає свою орієнтацію. Таким чином, при в осерді зберігається магнітне поле, що характеризується залишковою індукцією (точка ). При збільшенні струму в протилежному напрямку магнітне поле котушки компенсує магнітне поле, створене доменами сердечника. При напруженості поля (точка с), яка називається коерцитивною силою, результуюча магнітна індукція дорівнюватиме нулю. Подальше збільшення струму в котушці викличе перемагнічування сердечника, таким чином, поворот векторів намагніченості на 180°. При деякому значенні (точка ) сердечник знову буде насичуватися. При зменшенні струму в котушці до нуля індукція буде зменшуватися до залишкової індукції (точка ). Збільшення струму в позитивному напрямку викличе намагнічування сердечника до вихідного стану (точка а). Отриману криву називають петлею гістерізіса (запізнювання). Ділянка характеристики намагнічування називають основною кривою намагнічування.

Рис. 3.10. До опису процесу циклічного перемагнічування

Процес перемагнічування пов'язаний з витратами енергії і супроводжується виділенням теплоти. Енергія, яка витрачається за один цикл перемагнічування, пропорційна площі, обмеженою петлею гістерізіса. Залежно від виду петлі гістерізіса феромагнітні матеріали підрозділяють на магнітом’які і магнітотверді. Магнітом’ягки матеріали мають круто піднімається основною кривою намагнічування і відносно малими площами гістерезисних петель. Для магнітотвердих матеріалів характерні положистість основною кривою намагнічування і велика площа гістерезисної петлі. На рис. 3.11, а - в наведені петлі гістерезису для різних матеріалів.

Рис. 3.11. Петлі гістерезису для різних матеріалів: а - електротехнічна сталь (магнітом’який матеріал); б - пермалой (магнітомˈякий матеріал); в - магнітотвердий матеріал

3.7. Розрахунок магнітного кола

Сукупність пристроїв, що містять феромагнітні тіла і утворюють замкнене коло, в якому при наявності магніторушійної сили утворюється магнітний потік і вздовж якої замикаються лінії магнітної індукції, називають магнітним колом.

Прикладом таких кіл є сердечники трансформаторів, магнітних підсилювачів, електричних машин і т. д. (рис. 3.12). Завдання розрахунку магнітного кола зводиться до визначення НС котушки (або системи котушок), необхідної для створення заданого магнітного потоку. Часто зустрічається і зворотна задача, коли по заданій силі, що намагнічує необхідно визначити магнітні потоки. Розрахунок магнітного кола виробляють за допомогою законів для магнітних кіл. Розглянемо ці закони.

Рис. 3.12. Схема магнітного кола

Перший закон Кірхгофа. За рахунок струму, що протікає через котушку, показану на рис. 3.12, виникає магнітне поле, і в лівому стрижні створюється магнітний потік Ф. Цей потік в точці сердечника розгалужується на потоки . Так як силові лінії магнітного поля неперервні і замкнуті, томає виконуватися співвідношення:

(3.9)

Отже, алгебраїчна сума магнітних потоків для будь-якого вузла магнітного кола дорівнює нулю.

Це рівняння виражає перший закон Кірхгофа для магнітного кола.

Другий закон Кірхгофа. Застосуємо закон повного струму до контуру (рис. 3.12). Повний струм, що проходить через поверхню, обмежену цим контуром, . НС уздовж цього контуру де - напруженість магнітного поля на ділянці , в межах якого воно є однорідним, так як магнітний потік Ф і площа поперечного перерізу сердечника на цій ділянці незмінні; - напруженість магнітного поля на ділянці .

На підставі закону повного струму

тобто для даного контуру НС котушки дорівнює сумі магнітних напруг на окремих ділянках. Якщо є не одна, а кілька котушок і у всіх стрижнях напруженість поля різна, то рівняння набуває вигляду

(3.10)

Таким чином, сума алгебри НС для будь-якого замкнутого контуру магнітного кола дорівнює сумі алгебри магнітних напруг на окремих його ділянках.

Це визначення є другим законом Кірхгофа для магнітного кола. Знак НС котушок визначають за правилом свердлика, а знак магнітної напруги - у напрямку напруженості поля; якщо напрямок напруженості збігається з вибраним напрямком обходу контуру, то магнітне напруга беруть зі знаком плюс, і навпаки.

Закон Ома. Магнітна напруга на даній ділянці кола . Якщо врахувати, що , , то , .

Введемо позначення , де - магнітний опір ділянки кола. Тоді остаточний вираз закону Ома для ділянки магнітного кола набуде вигляду:

.

Магнітний потік для ділянки кола прямо пропорційний магнітному напрузі на цій ділянці.

З виразу для слід, що магнітне опір феромагнітних матеріалів мало. Необхідно відзначити, що закон Ома справедливий тільки для лінійних ділянок магнітного кола.

Приклад 3.3. Скільки витків потрібно намотати на осердя (рис. 3.13) для отримання магнітного потоку Ф=47·10^-4 Вб при струмі у обмотці ? Верхня частина осердя виконана з елекротехнічної сталі Э330, нижня- з литої сталі.

Розв’язання. Згідно рис. 3.13, ; ; ; ; ; .

Магнітна індукція для всіх трьох ділянок однакова: При кривій намагнічування для сталі Э330 (рис. 3.14) індукція відповідає напруженності поля . Магнітна напруга на ділянці

Магнітна напруга на ділянці :

Напруженість поля у повітряному зазорі:

Магнітна напруга у повітряному зазорі:

Сила, яка намагнічує:

Число витків обмотки:

3.8. Електрон у магнітному полі

На електрон, що рухається в магнітному полі (рис. 3.15), діє електромагнітна сила. Ця сила виникає в результаті взаємодії даного магнітного поля з магнітним полем, яке створюється в результаті руху електрона. Вона називається силою Лоренца і визначається: , (3.11)

де – заряд електрону; – магнітна індукція; – швидкість руху електронів;

– кут між напрямами магнітного поля та електронного току.

Рис. 3.15. Електрон у магнітному полі

Напрямок сили визначається за правилом лівої руки: ліву руку слід розташувати так, щоб магнітне поле входило в долоню, витягнуті чотири пальця розташовуються по напрямку струму; тоді відігнутий під прямим кутом великий палець покаже на правління сили.

Необхідно пам'ятати, що струм, викликаний рухом електрона, спрямований у бік, протилежний цьому руху.

Приклад 3.4. У однорідному магнітному полі, індукція якого В=2 Тл, перпендикулярно напрямку поля рухається електрон ( зі швидкістю . Визначити силу, яка діє на електрон.

Рішення. Оскільки, за умовою задачі , формула (3.11) приймає вигляд .

3.9. Провідник зі струмом у магнітному полі. Взаємодія

паралельних провідників зі струмом

На провідник зі струмом, що знаходиться в магнітному полі (рис. 3.16), діє сила. Так як струм у металевої провіднику обумовлений рухом електронів, то силу, що діє на провідник, можна розглядати як суму сил, що діють на всю електрику провідника довжиною . У результаті отримуємо співвідношення , де – сила Лоренца, яка діє на електрон; – концетрації електронів (число електронів в одиниці об’єму); – довжина і площа поперечного перерізу провідника.

Рис. 3.16. Провідник зі струмом у магнітному полі

З урахуванням формули (3.11) можна записати .

Легко зрозуміти, що добуток є щільністю струму ; отже, .

Добуток це струм , тобто:

. (3.12)

Отримана залежність відображає закон Ампера.

Напрямок сили визначається за правилом лівої руки. Розглянуте явище покладено в основу роботи електричних двигунів.

На практиці часто доводиться зустрічатися з взаємодією паралельних провідників, по яких проходять струми.

Розглянемо це явище. Провідник зі струмом знаходиться у магнітному полі струму (рис. 3.17). Застосуємо формули (3.12) для визначення електромагнітної сили, що діє на провідник зі струмом : . В даному випадку . Магнітна індукція, як відомо, .

Рис. 3.17. Електромагнітні сили взаємодії паралельних провідників зі струмом

Напруженість магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом, по формулі (3.7), . Тоді вираз для набуде вигляду .

Згідно з третім законом Ньютона, провідник зі струмом діє на провідник зі струмом з такою ж силою, як провідник зі струмом на провідник зі струмом , тобто:

. (3.13)

Напрямок дії сил і визначається за правилом лівої руки. Як видно з рис. 3.17, якщо струми проходять в одному напрямку, то провідники притягуються, якщо в різному - відштовхуються.

Приклад 3.5. Двожильний кабель з ізоляцією має свинцеву оболонку, яка оберігає кабель від потрапляння вологи (рис. 3.18). Відстань між центрами перерізів жил . Визначити силу взаємодії між струмами на кожен метр довжини кабелю та вплив цієї сили на свинцеву оболонку. Струм у жилах кабелю .

Рис. 3.18. До визначення сили взаємодії між жилами кабелю

Розв’язання. Розрахуємо силу взаємодії між струмами на 1 м довжини. Так як , , то формула (3.13) приймає вигляд:

Так як струми у жилах проходять у протилежних напрямках, жили відштовхуються. Сили, які діють на жили через ізоляцію, передаються на свинцеву оболонку, викликаючи у ній внутрішні механічні напруги.

3.10. Закон електромагнітної індукції

Суть закону електромагнітної індукції, відкритого англійським фізиком М. Фарадеєм, полягає в наступному: всяка зміна магнітного поля, в якому поміщений провідник довільної форми, викликає в останньому появу ЕРС електромагнітної індукції.

Розглянемо цей закон з кількісної сторони при русі прямолінійного провідника в однорідному магнітному полі (рис. 3.19).

Нехай провідник довжиною рухається зі швидкістю . Тоді на вільні електрони, які рухаються разом з провідником, буде діяти сила Лоренца, на правління якої визначається за правилом лівої руки. Під дією цієї сили електрони рухаються вздовж провідника, що призводить до поділу зарядів: на кінці провідника накопичуються позитивні заряди, на кінці - негативні. але приподілі зарядів виникає електричне поле, перешкоджає цьому процесу. Коли сили поля урівноважать силу Лоренца, поділ припиниться. В процесі розподілу зарядів сили Лоренца виробляють роботу. Визначимо значення цієї роботи по відношенню до одиничного заряду, тобто напруга проміж точками А и Б. Оскільки поле сил Лоренца однорідне, I та Але так як у нашому випадку . В результаті отримаємо .

Ця напруга дорівнює ЕРС електромагнітної індукції і в загальному вигляді, коли , виражається формулою:

. (3.14)

Напрямок ЕРС визначається за правилом правої руки: праву руку розташовують так, щоб магнітні лінії входили у долоню, відігнутий під прямим кутом великий палець суміщають з напрямком швидкості; тоді витягнуті чотири пальці покажуть напрямок ЕРС.

3.11. Електрорушійна сила індукції в контурі

Розглянемо рух замкнутого контуру (рамки) в неоднорідному магнітному полі (рис. 3.20). Рамка переміщається в площині, перпендикулярній магнітному полю, спрямованому від нас, і в сторонах 1 і 2 рамки наводяться ЕРС. В сторонах 3 і 4 - поздовжні ЕРС. ЕРС в стороні 1 більша ЕРС в стороні 2, так як магнітне поле праворуч інтенсивніше. Таким чином, результуюча ЕРС:

Рис. 3.20. Схема індуціювання ЕРС у рамці

При цьому ; - приріст магнітного потоку, що перетинає площину рамки; - зменшення магнітного потоку, так як рамка переміщається зліва направо. Отже, без урахування напрямку ЕРС , де . Загальна зміна потоку ∆Ф позитивно; індукований струм має такий напрям, при якому створене нм магнітне поле спрямоване проти основного поля. З урахуванням цього вираз для е можна записати у вигляді:

. (3.15)

Таким чином, ЕРС, індукована в контурі при зміні магнітного потоку, що проходить крізь поверхню, обмежену цим контуром, дорівнює швидкості зміни потоку, взятої з негативним знаком.

Це формулювання закону електромагнітної індукції справедлива для контурів будь довільної форми.

Якщо контур складається з послідовно з'єднаних витків і магнітний потік Ф для кожного витка один і той же, то індукована ЕРС.

. (3.16)

Приклад 3.6. Квадратна рамка з довжиною сторін 15 см з мідної проволоки, площа поперечного перерізу 10 мм², переміщується з постійною швидкістю 1 м/с у однорідному магнітному полі з індукцією 1 Тл (рис. 3.21). Визначити у кожному з трьох положень (1, 2 і 3) рамки значення і напрямок індуційованих ЕРМ і струму у рамці.

Рис. 3.21. До визначення ЕРМ у рамці, яка переміщується у

однорідному магнітному полі

Розв’язання. ЕРС для положень 1 і 3 рамки розрахуємо згідно (3.14):

так як у магнітному полі знаходиться передня або задня сторона рамки.

Напрямок ЕРС визначимо за правилом правої руки. ЕРС для положення 2 рамки, по (3.15), . Оскільки поле однорідне,.

Струм для положень 1 і 3 рамки:

;

Напрямок струму залежить від напрямку ЕРС.

3.12. Принцип Ленца

Негативний знак у виразі (3.15) свідчить про те, що ЕРС, індукована в контурі, прагне викликати струми, що перешкоджають зміні магнітного потоку. Отже, індукована в контурі ЕРС і струм завжди мають такий напрямок, при якому вони перешкоджають причини, що їх викликає.

Це положення висловлює сформульований Ленцем закон про направлення індукованого струму. На рис. 3.22, а показаний виток, у який спочатку вводять постійний магніт.

Рис. 3.22. До пояснення принципу Ленца

При цьому магнітне поле збільшується, . У витку індуцьована ЕРС такої напруги і струм, при якому магнітне поле витка перешкоджає наростанню зовнішнього магнітного поля, тобто магнітний потік витка , має напрямок, протилежний напрямку магнітного поля постійного магніту. Коли постійний магніт виводять з витка (рис. 3.22, б), магнітне поле зменшується . Струм, що виникає в витку, створює магнітний потік, що перешкоджає зменшенню магнітного поля постійного магніту.

На підставі цих міркувань можна зробити висновок про те, що виток прагне зберегти незмінність. Це явище можна порівняти з інерцією, яка спостерігається, наприклад, при русі вільної матеріальної точки. Принцип інерції полягає в тому, що вільна матеріальна точка прагне зберегти свою кількість руху . Якщо під дією зовнішніх сил змінюється кількість руху матеріальної точки, то виникає сила інерції, що протидіє положенню зовнішнім силам:

У наведеному випадку магнітний потік можна розглядати як аналог кількості руху, а ЕРС індукції - як аналог деякої інерційної сили.

Приклад 3.7. Прямокутна рамка переміщується у магнітному полі прямолінійного струму так, як показано на рис. 3.23. Користуючись принципом Ленца, визначити напрямок струму у рамці.

Рис. 3.23. Рамка у магнітному полі прямолінійного струму

Розв’язання. Магнітне поле, яке пронизує площину рамки, неоднорідно: у ближній стороні, згідно (3.7), , у дальній - . При видаленні рамки магнітний потік, який пронизує її площину, зникає. Тоді струм буде створювати магнітний потік , який перешкоджає зменшенню, тобто направлений у ту саму сторону, що й магнітний потік провідника. Напрямок струму знаходимо за правилом буравчика.

3.13. Перетворення механічної енергії в електричну

Нехай у магнітному полі провідник довжиною l під дією вантажу рухається по вказаних напрямках (рис. 3.24). Тоді відповідно до закону електромагнітної індукції в цьому провіднику наводиться ЕРС індукції . Під дією цієї ЕРС у ланцюзі почне проходити струм . Відповідно до закону Ома для всього кола,

де - опір навантаження; - опір провідників.

Рис. 3.24. Модель, яка ілюструє перетворення

механічної енергії в електричну

Очевидно, що в резисторах і витрачається енергія і відбувається процес перетворення механічної енергії в електричну. При цьому на провідник довжиною діє електромагнітна сила , напрямок якої визначається за правилом лівої руки. При сталій швидкості сила G=F. Знайдемо співвідношення між механічною і електричною потужностями для цього стану. Помножимо рівняння для на ток :

або

Так як , то:

. (3.17)

де – механічна потужність, яка розвивається при русі вантажу; - електрична потужність, яка споживається у нагрузці; - потужність втрат у провіднику.

Таким чином, механічна енергія при переміщенні провідника в магнітному полі перетворюється в електричну. Розглянута модель є моделлю найпростішого генератора електричної енергії.

3.14. Перетворення електричної енергії в механічну

До провідника довжиною , поміщеного в магнітне поле, прикладена напруга джерела , і в ланцюзі існує струм (рис. 3.25). На провідник діє електромагнітна сила , напрямок якої визначається за правилом лівої руки. Під дією цієї сили, якщо , провідник довжиною почне переміщатися і вантаж стане підніматися. Отже, електрична енергія джерела перетворюватиметься в механічну енергію вантажу. Знайдемо кількісне співвідношення, що характеризує цей захід. При русі провідника в магнітному полі в ньому буде індукуватися ЕРС . Відповідно до принципу Ленца, напрям цієї ЕРС протилежний напрямку струму і, отже,

, (3.18)

де - опір провідника довжиною

Рис. 3.25. Модель, яка ілюструє перетворення електричної

енергії у механічну

Звідси струм у ланцюзі:

. (3.19)

Помноживши рівняння (3.18) на струм і маючи на увазі, що отримаємо:

++;

тобто:

, (3.20)

де – електрина потужність; – механічна потужність; – теплова потужність.

Таким чином, отримана провідником електрична енергія джерела перетвориться в механічну і теплову енергію.

Ця модель є найпростішим електричним двигуном.

Приклад 3.8. У пристрої, зображеному на рис. 3.25, ; ; ; . Визначити: 1) максимальну силу тяжіння ковзаючого провідника довжиною ; 2) струм у ланцюзі, силу тяжіння, ККД пристрою, якщо провідник, який підіймає груз, має швидкість 2 м/с; 3) швидкість провідника, якщо сила, яка перешкоджає його руху, дорівнює 0; 4) силу, яка створюється вантажем, що опускається, необхідна для досягнення швидкості 2 м/с при тому самому джерелі живлення.

Розв’язання. 1. Максимальна сила тяжіння . Згідно (3.19), струм , так як у момент торкання дроту. Звідси ; .

2. Згідно (3.19), струм ; . Отже, .

Сила тяжіння ; .

3. Швидкість руху провідника у загальному випадку знаходять за допомогою формули (3.18), оскільки :

У нашому випадку сила, яка перешкоджає руху провідника, дорівнює нулю, тому провідник довжиною буде розганятися під дією сили до тих пір, доки його швидкість не стане такою, при який протидіюча ЕРС урівноважить напругу джерела . Отже, струм у ланцюзі буде рівним нулю і швидкість .

4. Опускання вантажу означає, що пристрій перейшов у режим генератора; отже для кола рис. 3.25 можна записати , тобто ЕРС, яка виникає у провіднику довжиною при русі груза вниз зі швидкістю 2 м/с, діє згідно з напругою джерела і разом з цим джерелом створюється падіння напруги на цьому провіднику.

Отже:

звідки сила, яку розвиває вантаж .

3.15. Потокозчеплення і індуктивність котушки

Якщо через котушку проходить змінюється струм, то її витки перетинаються змінним магнітним полем, що викликається цим струмом, і на затискачах котушки виникає ЕРС індукції. Для кількісної характеристики цього процесу введемо поняття потокозчеплення і індуктивності котушки. На рис. 3.26 показана котушка зі струмом, витки якої пронизують різне число силових ліній: центральні витки - всі силові лінії, крайні - тільки частина силових ліній. Отже, магнітні потоки різних витків різні. Ці магнітні потоки називають потоками самоіндукції , Так як вони створюються струмом котушки.

Рис. 3.26. До визначення потокозчеплення

і індуктивності котушки

Суму потоків самоіндукції усіх витків котушки називають потокозчепленням самоіндукції:

. (3.21)

У тому випадку, коли магнітна проникливість середовища постійна, між потокозчепленням і створюваним його струмом існує лінійна залежність:

(3.22)

де – коефіцієнт пропорційності, називається індуктивністю котушки.

Одиницею індуктивності є Генрі (Гн):

На практиці, як правило, користуються більш дрібними одиницями: міллігенрі (1 мГн = 10^-3 Гн) і мікрогенрі (1 мкГн = 10^-6 Гн).

Знайдемо індуктивність кільцевої котушки (див. рис. 3.26). Так як в цьому випадку все магнітне поле замикається всередині котушки, то магнітні потоки для всіх витків однакові і, отже, . Але і Напруженість поля, відповідно до закону повного струму, . В результаті отримаємо .

Так як , то:

. (3.23)

Індуктивність циліндричної котушки, у якій довжина досить велика в порівнянні з діаметром ,також може бути визначена за формулою (3.23).

Приклад. 3.9. Середній радіус кільцевої котушки з неферомагнітним осердям , площа поперечного перерізу , щільніть намотки . Визначити: 1) індуктивність котушки; 2) як зміниться індуктивність котушки, якщо при додаванні витків щільність намотки доведена до .

Розв’язання. 1. Підставимо в (3.23) , ,, , отримаємо

2. При зміні щільності намотки змінюється тільки число витків. Отже, нове значення індуктивності , тобто індуктивність збільшиться у 2,25 разів.

3.16. Електрорушійна сила самоіндукції. Енергія

магнітного поля

Розглянемо процес, що відбувається в ланцюзі (рис. 3.27) при замиканні ключа ; при замикання ключа струм у ланцюзі . Після замиканні ключа струм у ланцюзі встановлюється не миттєво, і лише через визначений час досягає значення . Отже, струм, що проходить через котушку, змінюється, а значить змінюється і потік кожного витка і потік котушки . Згідно (3.15), в кожному витку наводиться ЕДС , а у всій котушці ЕРС Вираз у скобках представляє собою суму : . У відповідності з (3.21) . Але і для котушки без феромагнітного осердя ) кінцево отримаємо:

. (3.24)

Рис. 3.27. Схема індуціювання ЕРС самоіндукції у котушці

ЕРС називають ЕРС самоіндукції, а розглянуте явище виникнення ЕДС у котушці, внаслідок змінення струму у цій котушці – самоіндукцією.

ЕРС самоіндукції, згідно з принципом Ленца, перешкоджає зміні струму в котушці, тому струм досягає сталого значення поступово (рис. 3.28). Якщо замкнути котушку на резистор, то струм в ланцюзі не зникає миттєво, так як ЕРС самоіндукції перешкоджає його зменшення. Проходження струму через супроводжується виділенням теплоої енергії, що свідчить про накопичення енергій у магнітному полі котушки. Знайдемо знчення цієї енергії. Згідно другого закона Кірхгофа для кола рис. 3.27, звідки, , тобто падіння напруги джерела частково проходить на і частково урівноважує ЕРС самоіндукції .

Помножимо останнє рівняння на:

де – енергія, яку виділяє джерело у коло за час ; - енергія, яка виділяється у вигляді теплоти на резисторі ; - енергія, що накопичується у магнітному полі котушки за час .

Для знаходження всієї енергій, що накопичиться у магнітному полі котушки при зміні струму від 0 до , проінтегруємо вираз для :

(3.25)

Цей вираз аналогічний виразу для кінетичної енергії тіла масою, яке рухається зі швидкістю : .

Приклад 3.10. Котушку, індуктивність якої і опір , підключають до джерела постійної напруги. Визначити ЕРС самоіндукції у перший момент підключення котушки до джерела. Яку кількість енергії зосереджено у магнітному полі котушки при струмі, який встановився?

Рис. 3.28. Залежність струму у котушці від часу при її підключенні до джерела постійної напруги

Розв’язання. Так як струм у котушці у перший момент дорівнює нулю (рис. 3.28), уся напруга джерела йде на врівноваження ЕРС самоіндукції; отже, звідки .

При струмі, який встановився .

3.17. Вихрові струми

У тому випадку, коли змінне магнітне поле, створене струмом однієї котушки, перетинає витки іншої котушки (рис. 3.29), і навпаки, на затисках останньої котушки виникає ЕРС, яку називають ЕРС взаємоіндукції.

Знайдемо вираз для ЕРС взаємоіндукції, яка індуціюється у котушках і .

Струм , який проходить через котушку створює магнітне поле, частина якого зчеплена з витками котушки (рис. 3.29, а), і кількісно визначається потокозчепленням взаємоіндукції: . Відповідно струм котушки (рис. 3.29, б) створює потокозчеплення самоіндукції .

Рис. 3.29. Магнітозв’язані кола

Тут і - магнітні потоки взаємоіндукції, пропорційні струмам, що їх створюють. Отже, і потокозчеплення взаємоіндукції пропорційне цим струмів:

; (3.26)

Коефіцієнти пропорційності і називають взаємними індуктивностями. У тому випадку, коли котушки не містять феромагнітних осердь, .

Взаємна індуктивність залежить від числа витків котушок, їх розмірів і взаємного розташування, а також від магнітних властивостей середовища.

Одиниця взаємної індуктивності - Генрі (Гн).

При зміні потокозчеплення взаємоіндукції першої котушки в другій котушці наводиться ЕРС взаємоіндукції:

(3.27)

Відповідно зміна потокозчеплення взаємоіндукції другої котушки викликає ЕРС взаємоіндукції в першій котушці:

Явище взаємоіндукції знаходить широке застосування в різних електро- і радіотехнічних пристроях. Зокрема, воно використовується для трансформації електроенергії змінного струму. Однак це явище може проявляти себе і як шкідливий. Наприклад, в осерді котушки, за рахунок явища взаємоіндукції виникає кільцевмй струм, який називають вихровим, які викликають великі теплові втрати.

Для зменшення цих втрат феромагнітні сердечники набирають з тонких ізольованих один від одного листів електротехнічної сталі з підвищеним питомим електричним опором.

Контрольні запитання

1. Наведіть характеристики магнітного поля.

2. Наведіть закон повного струму.

3. Охарактеризуйте магнітне поле прямолінійного струму.

4. Охарактеризуйте магнітне поле кільцевої та циліндричної котушок.

5. Розповісти про намагнічування феромагнітних матеріалів.

6. Розповісти про циклічне перемагнічування.

7. Розповісти про розрахунок магнітного кола.

8. Охарактеризуйте електрон у магнітному полі.

9. Розповісти про провідник зі струмом у магнітному полі. Взаємодія паралельних провідників зі струмом.

10. Навести закон електромагнітної індукції.

11. Що таке електрорушійна сила індукції в контурі?

12. Довести принцип Ленца.

13. Розкажіть про перетворення механічної енергії в електричну.

14. Розкажіть про перетворення електричної енергії в механічну.

15. Надайте визначення потокозчеплення і індуктивності котушки.

16. Що таке електрорушійна самоіндукція. Енергія магнітного поля?

17. Що таке електрорушійна взаємоіндукція? Вихрові струми.