張貼日期：Oct 11, 2016 11:58:16 AM

歷經幾千年的發展，數學演變成許多條領域分支，數論（Number Theory）稱得上是經過千錘百鍊歷久彌新，其中關於「質數(prime number)」的神祕最讓人津津樂道和著迷。所謂質數就是除了 1 和本身之外無法被其它正整數整除的數。例如：2, 3, 5, 7, 11,..., 如此下去可以一直往後找到新的質數，沒完沒了。但是，越往後走下去，質數就會越來越稀有。

不只數學家熱愛，世界上還有許多業餘人士為質數瘋狂不已，若干愛質數成痴的質數迷團體，例如 GIMPS 和 PrimeGrid，藉網路號召同好貢獻出家用電腦的閒置時間，只要事先下載安裝網頁上的軟體，就能夠加入他們的行列，一起尋找尚未被世人發現的新質數。

前者 GIMPS 的全名是 Great Internet Mersenne Prime Search，顧名思義搜尋對象以梅森質數 Mersenne Prime 為主。

舉凡可以表示成 2^p－1 形式的質數便是。

不過這樣的質數卻是意外地相當罕見，截至目前為止也才發現不到 50 個，在 2016 年初 GIMPS 公佈發現

第 49 個梅森質數 2^74207281－1。

特別的是，這也是目前發現最大質數的紀錄保持者。相關報導請參考本刊 【發現超大質數！ 高達150000美金的超級質數任務】。

發現超大的孿生質數

PrimeGrid 則是針對各種形式的質數進行全面性探索。最新的發現就在今年中秋節的前一天（2016 年 9 月 14 日）公佈，來自美國的 Tom Greer 找到了一對新的孿生質數（Twin Primes）如下：

孿生質數即是相差為２的兩個質數。新發現的孿生質數若是把它一個數字接一個數字寫下來，竟然長達 388342 位數，打破前一組孿生質數為 200700 位數的世界紀錄。

和梅森質數相較之下，孿生質數的能見度是高了一點。讓我們從 2 開始沿著數線向前走，看看這些小的例子 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139)…，隨著數字越來越大，孿生質數似乎就躲得越來越隱密了。當然，也忍不住令人好奇，一直走在無窮無盡的數線上，能否持續發現孿生質數的存在呢？這正是鼎鼎大名的「孿生質數猜想」要追尋的偉大目標，雖然目前仍尚未解決。

前十大孿生質數排名，photo from http://primes.utm.edu/largest.html

蘇菲熱爾曼質數

有趣的是，這次找到的兩個孿生質數兄弟中的弟弟

２９９６８６３０３４８９５×２^{１２９００００}－１

還有另外一個特別的名字 － 蘇菲熱爾曼質數(Sophie Germain prime)。若一個質數 p 同時具備 2p+1 也是質數的話，則 p 稱作蘇菲熱爾曼質數。

這種質數是為了紀念十八至十九世紀時的一位法國數學家 Marie-Sophie Germain，她的創見在於利用這種特殊的質數去證明費馬大定理在某些特例的正確性。（註：費馬大定理在 1995 年終於被英國數學家懷爾斯Andrew Wiles 完全解決）

蘇菲熱爾曼的老爸據說非常有錢，家裡藏書也相當豐富，書櫃上竟然也有大數學家歐拉的著作。在父母都不支持的狀態下，據說小時候的她靠著偷看她老爸的數學藏書自學，有點像少林寺的掃地僧之於易筋經，她默默練功，打怪升等，等到等級練得差不多了，居然開始使用假名 「雷霸龍」(姆斯，是你??) Augusts Antoine Le Blanc 寫信（當時女性被禁止靠近大學，逼不得已才使用假名）跟當代大數學家當筆友進行交流，其中一位是被普魯士腓特烈大帝尊為「歐洲最偉大的數學家」的拉格朗日 (Joseph Lagrange)，通信一段時間，拉格朗日提出了見面的要求，眼看紙包不住火，也只好向拉格朗日坦白一切，後來還順利成為拉格朗日的指導學生；另外還有一位筆友則是人稱「數學王子」的高斯 (Carolus Fridericus Gauss)，高斯得知她的真實身份後，對她隱藏身份也要學數學的精神，也不禁豎起大拇指欽佩讚賞。

數學史上有許多了不起的女性，蘇菲熱爾曼是其中之一。在那個時代的家庭環境和社會氛圍之下，女性追求學問所遭遇的困難和挫折，是今日無法想像的巨大，因為性別的緣故，她終其一生都未能取得以數學研究的本的正職工作，即使在數學的領域中做出許多偉大貢獻。

前十大蘇菲熱爾曼質數排名，photo from http://primes.utm.edu/largest.html

延伸閱讀

1. 發現超大質數！ 高達150000美金的超級質數任務，陳宏賓，UniMath。

2. 繼張益唐縮小相鄰質數的間隔之後，天才數學家陶哲軒讓它變大了!，陳宏賓，UniMath。