In questo caso il dominio di integrazione è un rettangolo nel piano. Questo significa che la variabile x varia in un intervallo fisso, e la variabile y varia anch’essa in un intervallo fisso e indipendente da x.
Per calcolare l’integrale doppio, si può scegliere liberamente l’ordine di integrazione: prima x e poi y, oppure il contrario.
Il procedimento è il seguente:
Si integra la funzione rispetto alla prima variabile, mantenendo l’altra costante.
Poi si integra il risultato rispetto alla seconda variabile, su tutto l’intervallo assegnato.
Poiché gli intervalli di integrazione per x e per y sono dati da numeri fissi (cioè non dipendono l’uno dall’altro), questa è la situazione più semplice e diretta da trattare.
In questo caso, il dominio è tale che:
x varia all’interno di un intervallo ben definito (da un valore iniziale a uno finale);
per ogni valore di x, y varia da una funzione inferiore a una funzione superiore (cioè, y dipende da x).
Per calcolare l’integrale doppio:
Si integra per prima la variabile y: i suoi limiti sono funzioni di x.
Poi si integra il risultato rispetto a x: i suoi limiti sono costanti.
Questo tipo di dominio “si appoggia” sull’asse delle x, ed è adatto quando le sezioni verticali (cioè a x fissato) del dominio sono segmenti verticali compresi tra due curve.
È analogo al caso precedente, ma invertito: y varia all’interno di un intervallo fisso; per ogni valore di y, x varia tra due curve (cioè, da una funzione inferiore a una funzione superiore, entrambe in funzione di y). La procedura è:
Prima si integra rispetto a x, con limiti che dipendono da y.
Poi si integra rispetto a y, con limiti costanti.
Questo dominio “si appoggia” sull’asse delle y, ed è utile quando le sezioni orizzontali (cioè a y fissato) del dominio sono segmenti orizzontali delimitati da due curve.
A volte il dominio su cui si deve integrare ha una forma circolare o radiale (per esempio un disco, un settore o un anello). In questi casi conviene cambiare coordinate: invece di x e y, si usano r (la distanza dall’origine) e theta (l’angolo rispetto all’asse x). In questo sistema:
La variabile r varia da un valore minimo a un massimo (per esempio, da zero al raggio di un cerchio);
La variabile angolare theta varia da un angolo iniziale a un angolo finale.
La funzione da integrare si riscrive in funzione di r e theta. Tuttavia, è fondamentale ricordare che nell’integrazione compare anche un “fattore di correzione”: il prodotto per r. Questo r deriva dal fatto che le aree elementari in coordinate polari non sono rettangolini, ma spicchi. Il procedimento:
Cambiare variabili, esprimendo x e y in funzione di r e theta;
Calcolare l’integrale doppio usando i nuovi limiti e moltiplicando la funzione per r.
Se il dominio ha una forma ellittica, per esempio è un’ellisse o un’area compresa tra due ellissi, può essere utile usare coordinate ellittiche. Queste sono coordinate costruite in modo analogo a quelle polari, ma deformate per adattarsi alla forma ellittica.In pratica:
Si esprimono x e y in termini di due nuove variabili: una che misura la “distanza ellittica” e l’altra che è una sorta di angolo o parametro curvilineo.
Si calcola il determinante jacobiano, cioè un fattore correttivo che tiene conto di come le aree cambiano nel passaggio da un sistema all’altro.
Si riscrive la funzione in funzione delle nuove variabili e si moltiplica per il determinante jacobiano. Anche qui, l’area elementare non è più un rettangolino: per questo serve il jacobiano, che rappresenta il “peso” corretto da dare a ogni punto nel nuovo sistema di coordinate.
Un integrale triplo è un'estensione dell'integrale doppio: invece di sommare "fettine" di area, somma "blocchetti" di volume. A cosa servono?
Fisica: calcolo di massa, centro di massa, energia potenziale in un campo.
Ingegneria: distribuzioni di materiale o di temperatura in un solido.
Matematica applicata: volume di un solido, media di una funzione nello spazio, densità variabile.