Baricentro di un triangolo

• Baricentro di un triangolo

Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane. Ognuna di esse è divisa in due parti dal baricentro, in modo che quella porzione che ha un estremo nel vertice, sia doppia dell'altra.

Dimostrazione

Si determinano le coordinate del punto M (con le formule del punto medio) del segmento AB del triangolo ABC. Si considera G il baricentro della figura geometrica. Poiché la proprietà del baricentro afferma che la parte che un estremo nel vertice è doppia all'altra, allora CG ≅ 2GM . Dopo aver tracciato le parallele agli assi cartesiani passanti per i punti M, G e C, si applica il teorema di Talete , che afferma che se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali, i segmenti che si formano sulla prima trasversale, sono direttamente proporzionali ai segmenti sulla seconda trasversale.

CG ≅ 2GM allora C^IG^I ≅ G^IM^I e C^IIG^II ≅ G^IIM^II .

Poichè C^IG^I = 2G^IM^{I ,} sostituendo, otteniamo : x_c - x_G = 2 (x_{G -} X_m )

Sostituendo X_{m =} (x_{a +} x_b) / 2 e semplificando i calcoli, si ottiene : x_{G =} (x_{a +} x_{b +} x_c) / 3

Analogamente si trova: y_G = (y_{a +} y_{b +}y_c ) / 3

x_{G =} (x_{a +} x_{b +} x_c) / 3, y_G = (y_{a +} y_{b +}y_c ) / 3

Esempio:

Calcola le coordinate del baricentro del triangolo che ha i seguenti vertici.

A (2;4), B (-1; -5), C(5; -2) G = ?

• x_{G =} (x_{a +} x_{b +} x_c) / 3 = (2 - 1 + 5) / 3 = 6 / 3 = 2
• y_G = (y_{a +} y_{b +}y_c ) / 3 = (4 - 5 - 2 ) / 3 = -3 / 3 = -1

G (2; -1)