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ENUNCIADO:
Ricitos de Oro necesita encontrar por lo menos 12 lb de oro y al menos 18 lbs de plata para pagar la renta mensual. Hay dos minas en las cuales Ricitos de Oro puede encontrar oro y plata. Cada día que Ricitos de Oro pasa en la mina 1 encuentra 2 lb de oro y 2 lb de plata. Cada día que Ricitos de Oro pasa en la mina 2 encuentra 1 lb de oro y 3 lb de plata. Plantear y resolver el modelo que ayude a Ricitos a cumplir con sus requerimientos pasando el menor tiempo posible en las minas.
PLANTEAMIENTO:
- Podemos ver que este problema se puede tratar como un problema de dietas,se busca minimizar el tiempo utilizado, donde el modelo quedaría como:
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos del método gráfico:
Paso 1: Graficamos las restricciones.
Podemos ver que para graficar las restricciones tuvimos que hacerlas igualdad.
Paso 2: Acotar la región factible
Podemos ver que utilizando el punto (0,0) y evaluándolo en las restricciones:
- 0 ≥ 12
- 0 ≥ 18
NO cumplen con las restricciones, lo que nos dice que el origen no forma parte de la región factible, es decir que la región se encuentra en el otro sentido.
Podemos ver en la imagen de la derecha que la región factible es la parte sombreada y es no acota, con puntos extremos A, B y C.
Paso 3: Esbozar la función objetivo.
En este caso igualamos la función objetivo a 10, es decir:
x1 + x2 = 10
y podemos ver en la gráfica de la derecha que la funciona objetivo es aquella que esta de color azul.
Paso 4: Ubicar el punto optimo
Podemos ver que si trasladamos la función objetivo como en la figura de la derecha (lineas punteadas) el punto que se encuentra en la región factible y que minimiza la función objetivo es el punto B, ya que es el único que gráficamente nos permite ver que la recta que define la función objetivo no permanece dentro de la región factible.
Notemos ademas que la el punto optimo es la intersección entre las rectas:
- 2x1 + x2 = 12
- 2x1 + 3x2 = 18
y este punto es B (4.5 , 3)
es decir:
- x1 = 4.5 y x2 = 3
- con z = 7.5
INTERPRETACIÓN:
Podemos ver que la solución que ofrece el método es que Risitos de Oro pase 4.5 días por la mina 1 y que pase 3 días por la mina 2 con un tiempo mínimo de 7.5 días, sin embargo podemos ver, dado el problema, que las variables son enteras, es decir que Risitos de Oro no puede asistir 4.5 días a la mina 1 así que, hay que realizar un análisis de sensibilidad, de modo que probablemente la solución optima se encuentre dentro de la región factible (siguiendo quizá algún tipo de método heuristica) .
Quizá una solución heuristica al problema seria redondear la cantidad de de 4.5 días asumiendo que si ya va la mitad de un día no se puede regresar el tiempo pero si concluir el día, entonces una solución heuristica para este problema en particular seria, pasar 5 días por la mina 1 y 3 días por la mina 2 consumiendo un tiempo minino de 8 días con los cuales va a satisfacer las 12lb de oro y las 18lb de plata que necesita, ya que obtendría 13lb de oro y 19lb de plata.
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