Ejemplo de Ford y sus autos
ENUNCIADO:
La Ford produce dos tipos de auto: Fiesta y Focus que se deben procesar a través de dos departamentos.
El depto 1 tiene 70 hrs. disponibles y el segundo departamento tiene 58 hrs. disponibles.
La fabricación de un Fiesta requiere 4 hrs. en depto 1 y 2 hrs. en depto 2. Cada Focus requiere 2 hrs. en el depto 1 y 4 hrs. en el depto 2.
La utilidad del fiesta es $40,000 y del Focus $60,000. ¿Cuántos coches se deben producir?
PLANTEAMIENTO:
- Podemos ver que el problema es de planeación de producción, se busca maximizar la ganancia.
donde el modelo quedaría como:
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos del método gráfico:
Paso 1: Graficamos las restricciones.
Podemos ver que para graficar las restricciones tuvimos que hacerlas igualdad.
Paso 2: Acotar la región factible
Podemos ver que utilizando el punto (0,0) y evaluándolo en las restricciones:
- 0 ≤ 70
- 0 ≤ 58
SI cumplen con las restricciones, lo que nos dice que el origen forma parte de la región factible, es decir que la región se encuentra en el sentido donde esta el origen.
Podemos ver en la imagen de la izquierda que la región factible es la parte sombreada y es acota, con puntos extremos A, B, C y D.
Paso 3: Esbozar la función objetivo.
En este caso igualamos la función objetivo a 100000, es decir:
40000x1 + 60000x2 = 100000
y podemos ver en la gráfica de la izquierda que la funciona objetivo es aquella que esta de color azul.
Paso 4: Ubicar el punto optimo
Podemos ver que si trasladamos la función objetivo como en la figura de la derecha (lineas punteadas) el punto que se encuentra en la región factible y que maximiza la función objetivo es el punto C, ya que es el único que gráficamente nos permite ver que la recta que define la función objetivo no permanece dentro de la región factible.
Notemos ademas que el punto optimo es la intersección entre las rectas:
- 4x1 + 2x2 = 70
- 2x1 + 4x2 = 58
y este punto es C (13.67 , 7.67)
es decir:
- x1 = 13.67 y x2 = 7.67
- con z = 1006666.667
INTERPRETACIÓN:
Podemos ver que la solución que ofrece el método es que la Ford produzca 13.67 autos Ford Fiesta y 7.67 autos Ford Focus con una ganancia con una ganancia de $1006666.667, sin embargo podemos ver que dado el problema, no se pueden producir 13.67 autos Ford Fiesta ni mucho menos 7.67 autos Ford Focus, ya que se producen unidades enteras, por lo que debemos hacer un analisis de sensibilidad , por ejemplo, considerar como solución alguno de los otros puntos extremos como B(17.5 , 0) ó D(0 , 14.5), pero al igual que en el caso anterior nos encontramos con la misma situación.
Debido a lo anterior la solución mas optima debe estar dentro de la región factible, y quizá una solución mas acertada debe ser aquella que siga un método heuristico, por ejemplo una solución heuristica seria truncar hacia abajo el numero de autos que produzcan menor ganancia y redondear hacia arriba el numero de autos que generen mayor ganancia.En este sentido tendríamos que la solución optima seria producir 13 autos Ford Fiesta y 8 autos Ford Focus con una ganancia total de $1000000, quiza no sea la mejor solución, pero es una solución alternativa que cumple las restricciones dadas.