Bevco y Oranji
Bevco elabora una bebida carbonatada sabor naranja que se llama Oranji mediante la combinación de agua carbonatada de naranja y jugo de naranja. Cada onza de agua carbonatada contiene 0.5 onzas de azúcar y 1 mg de vitamina C. Cada onza de jugo de naranja contiene 0.25 onzas de azúcar y 3 mg de vitamina C. Bevco gasta 2 centavos por producir una onza de agua carbonatada de naranja y 3 centavos por elaborar 1 onza de jugo de naranja. El departamento de mercadotecnia de Bevco decidió que la botella de 10 onzas de Oranji debe contener por lo menos 20 mg de vitamina C y cuando mucho 4 onzas de azúcar.
x1= cantidad de onzas de agua carbonatada de naranja en una botella de Oranji
x2= cantidad de onzas de jugo de naranja en una botella de Oranji
Por lo que el modelo quedaría como:
min z= 2x1 + 3x2
s.a.
0.5x1 + 0.25x2 <= 4 (Restricción del azúcar)
x1 + 3x2 >= 20 (Restricción de la vitamina C)
x1 + x2 = 10 (10 oz por botella)
x1,x2 >= 0
Omitimos el paso 1 puesto que todos nuestros recursos cumplen ser positivos
Paso 2: Convertir a la forma estándar, teniendo en cuenta cuáles restricciones eran >= e = en el planteamiento original, agregamos variable de holgura en la restricción del azúcar y variable de exceso en la restricción de la vitamina C para completar la igualdad. Pasamos a tener en cuenta también que a la restricción 2 y a la restricción 3 se les agregarán variables artificiales en el paso siguiente
min z= 2x1 + 3x2
s.a.
0.5x1 + 0.25x2 + x3 = 4
x1 + 3x2 -x4 = 20
x1 + x2 = 10
x1,x2 >= 0
Paso 3: Agregar variables artificiales a las restricciones que eran >= e = antes de realizar el paso anterior, bajo este criterio, agregamos las variables artificiales a la restricción de la vitamina C y a la de las 10 onzas por botella
min z= 2x1 + 3x2
s.a.
0.5x1 + 0.25x2 + x3 = 4
x1 + 3x2 -x4 + a1= 20 (Era >=)
x1 + x2 + a2 = 10 (Era =)
x1,x2 >= 0
Paso 4: Establecer la función nueva
Como estamos minimizando vamos a sumar Ma1 y Ma2 por lo que la nueva función objetivo será
min z= 2x1 + 3x2 + Ma1 + Ma2
El renglón 0 es entonces z - 2x1 - 3x2 - Ma1 - Ma2 = 0
Paso 5: Generamos el nuevo renglón 0, sumando al renglón actual los renglones que contengan una variable artificial en ellos.
Renglón 0: z - 2x1 - 3x2 - Ma1 - Ma2 = 0
Renglón 2: Mx1+ 3Mx2 -Mx4+ Ma1 = 20M
Renglón 3: Mx1 + Mx2 + Ma2 = 10M
Nuevo 0: z + (2M - 2)x1 + (4M -3)x2 - Mx4 = 30M
Ahora sí procedemos a aplicar el simplex
