Princípio Fundamental da Contagem

Definição

Se um evento é composto de duas escolhas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª escolha é m e o número de possibilidades na 2ª escolha é n, então o número total de possibilidades de o evento correr é dado pelo produto

m x n.

Esta definição se entende, facilmente, para problemas que apresentam mais de duas escolhas [ver situação 3].

Situação 1

Para ir da cidade X à cidade Y existem três estradas, duas ferrovias e duas linhas de barco. Da cidade Y até a cidade Z existem duas estradas, uma ferrovia e uma linha de barco. Por quantos caminhos distintos se pode viajar de X até Z passando sempre por Y?

Resolução:

• Note que para ir da cidade X até a cidade Y, temos: 3 estradas + 2 ferrovias + 2 linhas de barco = 7 caminhos diferentes.
• Para ir da cidade Y até Z, temos: 2 estradas + 1 ferrovia + 1 linha de barco = 4 caminhos diferentes.

Para a resolução de problemas dessa natureza é fundamental notar quantas escolhas precisarão ser feitas. Neste problema, precisamos fazer duas escolhas: uma para ir de X até Y e outra para ir de Y até Z, logo o total de caminhos distintos será:

7 x 4 = 28

Portanto, da cidade X até a cidade Z passando por Y podem ser feitos 28 percursos diferentes.

Veja esse problema semelhante em vídeo

Situação 2

Para ir ao trabalho, Paulo precisa passar pela Estação Central (EC). De sua casa à EC ele pode ir de ônibus, metrô ou trem. Da Estação Central até seu trabalho ele pode ir de ônibus, metrô, uber ou mototáxi. Dessa forma, de quantas maneiras distintas Paulo pode ir ao trabalho?

Resolução:

• Note que para ir de casa até a Estação Central, temos: 3 possibilidades (ônibus, metrô ou trem).
• Para ir da Estação Central, temos: 4 possibilidades (ônibus, metrô, uber ou mototáxi).

Novamente, é fundamental notar quantas escolhas precisarão ser feitas. Neste problema, Paulo precisamos fazer duas escolhas: uma para ir de casa até a Estação Central e outra para ir da Estação Central ao seu trabalho, logo o total de caminhos distintos será:

3 x 4 = 12

Portanto, Paulo pode ir ao trabalho de 12 maneiras diferentes.

Situação 3

No lançamento de 3 moedas, ao observarmos as faces viradas para cima, quantas são as configurações possíveis?

Resolução:

• Note que para o resultado da primeira moeda, temos: 2 possibilidades (cara (C) ou coroa (K)).
• Para o resultado da segunda moeda, temos: 2 possibilidades (cara (C) ou coroa (K)).
• E para o resultado da terceira moeda, temos: 2 possibilidades (cara (C) ou coroa (K))

Neste problema, precisamos fazer três escolhas: uma para a primeira moeda, uma para a segunda e outro para a terceira. Como temos 2 possibilidades para cada escolha, logo o total de configurações diferentes de resultados será:

2 x 2 x 2 = 8

Portanto, teremos 8 configurações de resultados possíveis.

Solução da Situação 3 em vídeo

Situação 4

Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o primeiro, segundo e terceiro lugares?

Resolução em vídeo

Situação 5

Quantos números com dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?

Resolução:

Como o número que precisamos formar tem DOIS algarismos DISTINTOS, precisamos fazer duas escolhas: uma para o algarismo das dezenas e outra para o algarismo das unidades, logo precisaremos de dois espaços.

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Dezena Unidade

• Para o algarismo das DEZENAS temos 8 possibilidades, podendo ser qualquer um dos 8 dígitos dados.
• Para o algarismo das UNIDADES temos apenas 7 possibilidades, pois não poderemos utiliza o dígito utilizado no algarismo das dezenas.

Daí, pelo princípio fundamental da contagem, basta multiplicarmos esses dois valores (8 e 7):

8 x 7 = 56

Portanto, com os dígitos dados, podemos formar 56 números de dois algarismos distintos.

Situação 6

Quantos números pares com dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?

Resolução:

Esta resolução é análoga a da Situação 5, com um pequeno detalhe: os números precisam ser pares. Então vamos lá.

Inicialmente, como o número que precisamos formar tem DOIS algarismos DISTINTOS, precisamos fazer duas escolhas: uma para o algarismo das dezenas e outra para o algarismo das unidades, logo precisaremos de dois espaços.

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Dezena Unidade

• Como os números que iremos formar são PARES, começaremos nossa análise pelo algarismo das UNIDADES.
• Para o algarismo das UNIDADES temos apenas 4 possibilidades (2, 4, 6 e 8), pois o algarismo das unidades precisa, obrigatoriamente, ser PAR.
• Para o algarismo das DEZENAS temos apenas 7 possibilidades, pois não poderemos utiliza o dígito utilizado no algarismo das unidades.

Daí, pelo princípio fundamental da contagem, basta multiplicarmos esses dois valores (4 e 7):

4 x 7 = 28

Portanto, com os dígitos dados, podemos formar 28 números pares de dois algarismos distintos.

Árvore de possibilidades

A árvore de possibilidades ou diagrama de possibilidades é um recurso visual permite listar e descrever as diversas possibilidades de um determinado problema. Acompanhe a solução da Situação 4 com a utilização desse recurso.

Situação 7

Maria precisa formar um look (configuração em acessórios e roupas) para ir ao shopping. Ela dispõe de duas calças (uma branca e outra preta) e 3 blusas (vermelha, amarela e verde). De quantas maneiras diferentes Maria pode formar seu look?

Resolução:

Para a resolução deste problema, utilizaremos a árvore de possibilidades, conforme figura abaixo.

Portanto, a partir da análise da árvore de possibilidades, concluímos que Maria pode formar 6 looks diferentes.

EXERCÍCIO PROPOSTO

Questão 01

Na lanchonete MATA BROCA um combo é formado por: 1 sanduíche, 1 bebida e 1 sobremesa. O sanduíche pode ser de carne, frango ou calabresa. Para a bebida há refrigerante e suco. As sobremesas são quatro: doce de cupuaçu, pavê de maracujá, gelatina de morango e mousse de manga. Dessa forma, uma pessoa que resolve pedir um combo nessa lanchonete, pode montá-lo de quantas maneiras diferentes?

a) 15

b) 24

c) 28

d) 30

e) 32

Questão 02

O Shopping Royal possui 6 acessos. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar e sair desse Shopping, sabendo que ela deve sair sempre por um acesso diferente daquele que entrou?

a) 11

b) 22

c) 30

d) 35

e) 42

Questão 03

Para ir da cidade de BACABEIRA à cidade de LAGOAS existem duas estradas asfaltadas e três estradas de piçarra. Da cidade de LAGOAS até a cidade PARAZINHO existem duas estradas de piçarra e dois acessos de barco. Por quantos caminhos distintos uma pessoa pode ir de BACABEIRA até PARAZINHO passando sempre por LAGOAS?

a) 15

b) 20

c) 36

d) 40

e) 48

Questão 04

No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, quantas são as configurações de resultados possíveis?

a) 12

b) 15

c) 18

d) 24

e) 36

Questão 05

Por uma questão de segurança a empresa TELENET decidiu criar, para seus funcionários, uma senha composta de duas vogais distintas e dois algarismos distintos. Sabendo que as vogais são sempre os dois primeiros dígitos e os algarismos os dois restantes, quantos funcionários a TELENET poderá cadastrar?

a) 120

b) 350

c) 480

d) 1250

e) 1800

Em breve teremos uma seção com as respostas comentadas. Para ver o gabarito, clique no botão abaixo.