Sequências

Definição

Uma sequência ou sucessão é uma função com domínio natural não nulo (N*) e contradomínio real (R).

Representação

Cada termo de uma sequência é representado genericamente por uma letra e um índice (posição do termo).

(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)

Exemplos:

• A sequência dos meses do ano: (jan, fev, mar, ..., dez);

a1 = jan; a2 = fev; a3 = mar; ... a12 = dez.

• A sequências dos anos em que o Brasil foi campeão mundial de futebol: (1958, 1962, 1970, 1994, 2002);

a1 = 1958; a2 = 1962; a3 = 1970; a4 = 1994; a5 = 2002.

• A sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...);

a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13; ...

• A sequência dos múltiplos positivos de 7: (7, 14, 21, 28, ...).

a1 = 7; a2 = 14; a3 = 21; a4 = 28; ...

Progressão Aritmética (PA)

Definição

Uma progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o anterior é sempre constante. A essa constante dar-se o nome de razão (r), ou seja

Exemplo:

• A sequência  (2, 5, 8, 11, 14, 17) é uma PA, pois:

a2 - a1 = 5 - 2 = 3;

a3 - a2 = 8 - 5 = 3;

a4 - a3 = 11 - 8 = 3;

a5 - a4 = 14 - 11 = 3;

a6 - a5 = 17 - 14 = 3.

Neste caso, temos que a razão r = 3.

Termo geral da PA

A fórmula do termo geral permite que calculemos um termo qualquer a partir do primeiro termo (a1).

Note que, numa PA temos:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r

a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r

...

an = a1 + (n -1)r

Exemplo:

Determine o 12º temo da PA (2, 7, 12, 17, ...).

Para determinarmos o 12º termo, ou seja, a12, utilizaremos a fórmula do termo geral:

an = a1 + (n-1).r

Na PA apresentada, temos:

a12 = ?

n = 12

a1 = 2;

r = 5 , pois a2 - a1 = 7 - 2 = 5

Aplicado na fórmula, obtemos:

an = a1 + (n-1).r

a12 = 2 + (12 - 1).5

a12 = 2 + 11.5

a12 = 2 + 55

a12 = 57

Portanto, o 12º termo da PA é 57.

Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma PA pode ser calculada pela fórmula:

Sn = (a1 + an).n / 2

Exemplo:

Determine a soma dos 8 primeiros termos da PA (4, 8, 12, 16,...).

Para determinarmos a soma dos 7 primeiros termos da PA, ou seja, S7, utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA:

Sn = (a1 + an).n/2

Na PA apresentada, temos:

S7 = ?

a7 = ?

a1 = 4

n = 7

r = 4 , pois a2 - a1 = 8 - 4 = 4

Aplicado na fórmula do termo geral, obtemos:

an = a1 + (n-1).r

a7 = 4 + (7- 1).4

a7 = 4 + 6.4

a7 = 4 + 24

a7 = 28

Aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, temos:

Sn = (a1 + an).n / 2

S7 = (4 + 28).7 / 2

S7 = 32.7 / 2

S7 = 224 / 2

S7 = 112

Portanto, a soma dos 7 primeiros termos da PA é 112.