Permutação

Permutação simples

Permutar é sinônimo de trocar, embaralhar, mudar de lugar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar, isto é, trocar objetos de posição.

Em notação, tem-se:

DICA 1:

Utilizamos a permutação quando o número de lugares é igual ao número de objetos (sendo esses objetos distintos).

Situação 1

De quantas maneiras 3 pessoas podem ser organizadas em um banco com três lugares?

Resolução:

Imagine três lugares vazios como os três espaços a seguir:

______ ______ ______

Sendo A, B e C três pessoas, temos:

• No primeiro lugar, podemos colocar qualquer uma das três pessoas (A, B ou C), ou seja, 3 possibilidades;
• No segundo espaço (lugar) podemos colocar qualquer uma das duas pessoas restantes (lembre-se que já colocamos uma pessoa no primeiro lugar, logo não podemos utilizá-la novamente). Assim, temos 2 possibilidades;
• Como já utilizamos 1 pessoa para o primeiro lugar e 1 pessoa para o segundo lugar, restou-nos apenas 1 possibilidade para o último lugar.

Então, teremos

3 x 2 x 1 = 6

Portanto, podemos organizar 3 pessoas em três lugares de 6 maneiras distintas.

Dica 2:

Todo problema de permutação simples pode ser resolvido utilizando o princípio fundamental da contagem.

Fatorial

Sendo n um número natural, tem-se:

Exemplo 1

Observe o calculo dos fatoriais a seguir.

0! = 1 (por definição)

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

5! = 5.4.3.2.1 = 120

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800‬

Ainda tem dúvidas?

Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de fatorial e como calculá-lo.

Anagramas

O que são anagramas?

Anagramas são palavras ou expressões que podem ou não ter sentido ou significado e são obtidos quando mudamos a ordem das letras de determinada palavra ou expressão.

Por exemplo, da palavra AMOR podemos formar a palavra AMRO, que não tem significado. Mas podemos formar também a palavra ROMA, que tem significado. Assim, todas as palavras ou expressões que podem ser obtidas a partir dessa ideia são chamadas de anagramas.

Situação 2

Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

Resolução:

Na resolução de problemas que envolvem anagramas teremos sempre duas situações:

• A palavra não tem letras repetidas: permutação simples;
• A palavra tem letras repetidas: permutação com repetição.

Note que, a palavra AMOR não possui letras repetidas, então basta calcularmos o número de permutações simples. Como a palavra AMOR possui 4 letras (sem nenhuma repetida), temos:

Portanto, a partir da palavra AMOR, pode-se formar 24 anagramas.

Dica 3:

No site https://www.palavras.net/anagramas.php você pode calcular o número de anagramas de uma palavra com até 9 letras. Fique a vontade para testar e visualizar os anagramas da palavra AMOR e outros.

Ainda tem dúvidas?

Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação e apresentamos o cálculo de anagramas.

Permutação com repetição

Quando calculamos permutações que apresentam repetição (situação 2) é necessário retirarmos a dupla contagem. Para isso, utilizamos a seguinte relação:

Situação 3

Quantos são os anagramas da palavra BOLO?

Resolução:

Primeiro listamos as letras distintas da pala:

• B - 1
• O - 2
• L - 1

No total, temos 4 letras, sendo que a letra O aparece 2 vezes, ou seja, é uma repetição, logo:

Portanto, pode-se formar 12 anagramas com a palavra BOLO.

Situação 4

Quantos são os anagramas da palavra ABOBORA?

Resolução:

Primeiro listamos as letras distintas da pala:

• A - 2
• B - 2
• O - 2
• R - 1

No total, temos 7 letras, sendo que as letras A, B e O aparecem 2 vezes cada, ou seja, é uma repetição, logo:

Portanto, podemos formar 630 anagramas com a palavra ABOBORA.

Ainda tem dúvidas?

Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação com repetição e utilizamos esse conceito em uma aplicação cotidiana.

Permutação circular

Quando agrupamos elementos ao redor de um círculo, a cada disposição possível damos o nome de permutação circular.

Para calcularmos o número de permutações circulares de um conjunto de n elementos, usamos a seguinte relação:

Situação 4

De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?

Resolução:

Esse problema consiste em determinar o número de permutações circulares de um conjunto de 4 pessoas, ou seja, n = 4, logo:

Portanto, 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular de 6 formas diferentes.

Ainda tem dúvidas?

Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação circular a partir da resolução de dois problemas.