Função Afim

Introdução

A lei que determina o valor a ser pago por uma corrida de táxi pode ser descrita por uma função afim. Esse valor é composto por duas partes uma taxa fixa chamada bandeirada e outra variável.

Exemplo:

Numa corrida de táxi em Belém do Pará o valor da bandeirada é de R$ 5,75 e o valor médio cobrado pelo km rodado e pela hora parada é de R$ 1,90. Assim, uma pessoa que apanha um táxi e faz uma viagem de 5 km pagará um valor de:

• R$ 5,75 (bandeirada);
• 5 x 1,90 = 9,50 (por km rodado);
• R$ 15,25 (total).

Logo, o valor total será de R$ 15,25.

A lei que determina o valor V a ser pago por uma quantidade x de quilômetros rodados é dado por:

f(x) = 1,90.x + 5,75

Definição

Função Afim ou Função Polinomial do 1º Grau é toda função f de IR em IR (domínio e contradomínio real) dada por

f(x) = a.x + b,

sendo a e b números reais e a ≠ 0.

Exemplos:

• f(x) = 3x – 4
• f(x) = - x + 7
• f(x) = 2x

Coeficientes da função afim

A função afim possui dois coeficientes, os números reais a e b.

Coeficiente a

O coeficiente a também é conhecido como:

• Taxa média de variação;
• Coeficiente angular.

O coeficiente angular define qual será a inclinação da reta que representa o gráfico da função afim. Além de determinar se a função será crescente ou decrescente.

Coeficiente b

O coeficiente b possui outras nomenclaturas, como:

• Taxa fixa;
• Termo independente;
• Valor inicial;
• Coeficiente Linear.

O coeficiente linear é o ponto onde o gráfico da função afim intersecta o eixo y.

Crescente ou decrescente

Para determinarmos se o gráfico da função afim é crescente ou decrescente, basta analisarmos o valor do coeficiente a.

• Se a > 0 (positivo), então a função é crescente;
• Se a < 0 (negativo), então a função é decrescente.

Exemplos:

• O gráfico da função f(x) = 2x + 1 é crescente, pois a > 0, ou seja, positivo.
• Já o gráfico da função f(x) = - 3x + 2 é decrescente, pois a < 0, ou seja, negativo.

Gráfico da função afim

A curva que determina o gráfico da função afim é uma reta. Da geometria, reta é um conceito primitivo que pode ser entendido como um conjunto de infinitos pontos alinhados.

Para traçarmos uma reta basta que tenhamos dois pontos. Dessa forma, podemos esboça o gráfico da função afim a partir de seu pontos notáveis: (0, b) coeficiente b e (x, 0) raiz da função.

Exemplo:

Esboce o gráfico da função f(x) = 2x - 4.

1º passo: Identificar os coeficientes:

• a = 2;
• b = - 4 => logo, um dos pontos será (0, -4).

2º passo: Calcular a raiz da função:

Quando calculamos a raiz da função estamos interessados em determinar o valor de x para o qual f(x) = 0.

f(x) = 2x - 4

Se f(x) = 0 então

2x - 4 = 0 =>

2x = 4 =>

x = 4/2 =>

x = 2

Portanto, a raiz da função é 2, ou seja, f(2) = 0. Logo, o outro ponto necessário para a construção do gráfico é (2, 0).

O gráfico da função f(x) = 2x - 4 pode ser representado por:

Determinando a lei de formação da função afim

Os exemplos a seguir mostram como determinar a lei de formação da função afim a partir de um gráfico ou dois ponto.

Exemplo:

Determine a lei de formação da função afim cujo o gráfico contem os pontos A(-1, 1) e B(2, 7).

Para a resolução deste prolema utilizaremos a fórmula da taxa média de variação:

Aplicando a fórmula da taxa média de variação, temos

Logo, a taxa média de variação ou coeficiente angular é igual a 2. Utilizando a forma genérica da função afim, obtemos f(x) = 2x + b ou ainda y = 2x + b. Daí, para determinarmos o valor de b, basta utilizarmos um dos pontos dados, assim para A(-1, 1), onde x = - 1 e y = 1, obtemos

y = 2x + b =>

1 = 2.(-1) + b =>

1 = -2 + b =>

1 + 2 = b =>

b = 3

Portanto, a lei de formação da função que passa pelos pontos A(-1, 1) e B(2, 7) é dada por

f(x) = 2x + 3