Probabilidade

Introdução

O estudo das probabilidades teve sua origem na necessidade de quantificar os riscos dos seguros e de avaliar as chances de sucesso em jogos de azar, o que parece curioso visto que os jogos são de azar.

Os jogos de azar são aqueles em que a possibilidade de ganhar ou perder depende exclusivamente do acaso, não importando as habilidades e o raciocínio do jogador.

Gerônimo Cardano (1501-1576), Edmund Halley (1656-1742), Daniel Bernoulli (1700-1782), Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662) são os principais matemáticos que contribuíram para os estudo das probabilidades.

Fenômenos aleatórios

Existem fenômenos que, mesmo que sejam repetidos inúmeras vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. A esses fenômenos, também chamados de experimentos, damos o nome de fenômenos aleatórios.

Exemplos:

• O lançamento de uma moeda perfeita;

• O lançamento de um dado perfeito;

• A pessoa que ganhará na loteria na próxima extração;

• O resultado do jogo do bicho;

• A retirada de uma carta de um baralho.

Espaço amostral

O espaço amostral, representado aqui por (S), é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo 1:

No lançamento de uma moeda perfeita o espaço amostral referente a observação da face virada para cima pode ser representado por:

S = {Cara, Coroa}

Exemplo 2:

No lançamento de um dado não viciado o espaço amostral referente a observação do número da face de cima pode ser representado por:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 3:

De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas brancas (B) e 5 bolas azuis (A), quando extraída uma bola e observar sua cor o espaço amostral pode ser representado por:

S = {V, B, A}

Evento

Se considerarmos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é S, um evento, que representamos por uma letra maiúscula do nosso alfabeto, será qualquer subconjunto de S.

Exemplo 4

Um dado perfeito é lançado e observado o número da face de cima.

Nesse caso, o espaço amostral será

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Agora, observe alguns eventos:

A: ocorrência de um número ímpar.

A = {1, 3, 5}.

B: ocorrência de um número par.

B = {2, 4, 6}.

C: ocorrência de um número primo.

C = {2, 3, 5}.

D: ocorrência de um número menor do que 4.

D = {1, 2, 3}.

E: ocorrência de um número menor que 7.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

F: ocorrência de um número maior ou igual a 7.

F = { }.

Exemplo 5

Uma moeda é lançada 2 vezes e observa-se a sequência de caras e corroas.

Nesse exemplo, cada elemento do espaço amostral será um par ordenado onde o primeiro elemento representa o primeiro lançamento e o segundo elemento representa o segundo lançamento:

S = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}

Para efeitos didático, considere: Cara = C e Coroa = K.

Agora, vejamos alguns eventos:

A: ocorrência de cara no 1º lançamento.

A = {(C, C), (C, K)}.

B: ocorrência de exatamente uma coroa.

B = {(C, K), (K, C)}.

C: ocorrência de no máximo uma cara.

C = {(C, K), (K, C), (K, K)}

D: ocorrência de pelo menos uma coroa.

D = {(C, K), (K, C), (K, K)}

Evento certo

É um evento que coincide com o espaço amostral.

Exemplo 6

No lançamento de um dado perfeito o espaço amostral é dado por:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento A: "ocorrência de um número menor do que 7" é um evento certo, pois

A = {1, 2, 3, 4,5 ,6},

ou seja, A = S.

Evento impossível

É um evento vazio.

Exemplo 7

No lançamento de um dado perfeito o espaço amostral é dado por:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento B: "ocorrência de um número maior ou igual a 7" é um evento impossível, pois

B = { }, ou seja, B é um evento vazio, não possui elementos.

Cálculo de probabilidade

Quando num experimento aleatório todo evento elementar tem a mesma chance de ocorrer, dizemos que estamos diante de um espaço equiprovável.

Num espaço equiprovável, a probabilidade de um evento A ocorrer, representado por p(A), é a razão entre o número de elementos desse evento n(A) pelo número de elementos do espaço amostral n(S):

p(A) = n(A) / n(S)

A probabilidade de um evento A ocorrer está sempre entre 0 e 100%, ou seja:

0 ≤ p(A) ≤ 100% ou 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Exemplo 7

No lançamento de uma moeda perfeita, qual é a probabilidade de sair cara?

Resolução

No lançamento de uma moeda perfeita, o espaço amostral é dado por:

S = {Cara, Coroa}.

Como o espaço amostral tem 2 elementos, logo n(S) = 2.

Sendo A o evento "ocorrer cara", logo A = {Cara} o que implica em n(A) = 1.

Daí, a probabilidade p(A) de ocorrer cara é dada por:

p(A) = n(A) / n(S)

p(A) = 1 / 2.

Portanto, a probabilidade de sair cara é de 1/2.

Exemplo 8

No lançamento de um dado perfeita, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4?

Resolução

No lançamento de um dado perfeita, o espaço amostral é dado por:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Como o espaço amostral tem 6 elementos, logo n(S) = 6.

Sendo B o evento "ocorrer número maior do que 4", então B = {5, 6} o que implica em n(B) = 2.

Daí, a probabilidade p(B) de ocorrer número maior do que 4 é dada por:

p(B) = n(B) / n(S)

p(B) = 2 / 6

p(B) = 1 / 3.

Portanto, a probabilidade de sair número maior do que 4 é de 1/3.

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é

a) 8%.

b) 9%.

c) 11%.

d) 12%.

e) 22%.