Arranjo

Definição

Seja N um conjunto com n elementos, isto é, N = {a1, a2, ..., an}. Chamamos de arranjo dos n elementos, tomados p a p (1 ≤ p ≤ n), a qualquer sequência de p elementos formada com elementos de N, todos distintos.

Para calcularmos o número de arranjos de n elementos tomados p a p, com 1 ≤ p ≤ n, usamos a relação:

O que é arranjo? Assiste ai!

Ideia intuitiva de arranjo simples

Deixando a formalidade um pouco de lado, quando o número de elementos n é maior ou igual ao números de lugares p onde ordenaremos esses n elementos, ou vice-versa, estamos diante de um problema de Arranjo Simples. Se ainda não ficou claro, então acompanhe a situação 1 abaixo.

Situação 1

De quantas maneiras distintas 5 pessoas podem se sentar em um banco com 3 lugares?

Resolução:

Note que, o número de elementos é maior do que o número de lugares onde ordenaremos esses elementos. Então, n = 5 e p = 3, pela relação do arranjo, tem-se:

Portanto, 5 pessoas podem se sentar em um banco com 3 lugares de 60 maneiras distintas.

Entenda a resolução da situação 1:

Nesse problema, temos 5 pessoas, isto é, n = 5 e três lugares, ou seja, p = 3. Note que, o número de pessoas é maior do que o número de lugares onde agruparemos essas pessoas.

Outro fator importante a ser observado é se a ordem das pessoas dentro de cada um dos agrupamentos (de três em três) que faremos irá ou não influenciar na configuração ou sequência obtida. Por exemplo, podemos escolher para se sentar no banco as pessoas A, B e C. Mas, será que se escolhermos as pessoas B, C e A a configuração será diferente?

A resposta é SIM, pois se imaginarmos essas pessoas sentadas para a obtenção de uma fotografia, ABC e BCA serão fotografias diferentes. Logo, isso nos dá a certeza de que estamos, de fato, diante de um problema de ARRANJO.

Situação 2

Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Resolução:

Para a solução deste problema devemos atentar para TRÊS pontos:

• O número de elementos n é maior ou igual ao número de lugares p? SIM, pois n = 9 e p = 2;

• Os algarismos precisam ser distintos? SIM;

• A posição dos elementos em cada agrupamento gera novas configurações? SIM, pois o número 12 é diferente do número 21, ou seja, quando trocamos a posição dos elementos obtemos novos números.

Sendo observadas essas duas condições, logo estamos diante de um problema de arranjo. Então:

Portanto, com os algarismos dados podemos formar 72 números de dois algarismos distintos.

Dica 1

Todo problema de arranjo pode ser resolvido pelo princípio fundamental da contagem.

Dica 2

Você pode resolver um problema de arranjo sem utilizar fórmula alguma. Apesar disso ressaltamos a importância de conhecê-la. Vamos ver como funciona.

Exemplos:

No item (a) temos n = 5 e p = 4. Para a resolução, basta desenvolvermos o n, p vezes, ou seja, desenvolvemos o cinco (5), quatro (4) vezes, obtendo:

No item (b) temos n = 6 e p = 2. Para a resolução, basta desenvolvermos o n, p vezes, ou seja, desenvolvemos o seis (6), duas (2) vezes, obtendo:

No item (c) temos n = 9 e p = 3. Para a resolução, basta desenvolvermos o n, p vezes, ou seja, desenvolvemos o nove (9), três (3) vezes, obtendo:

EXERCÍCIO PROPOSTO

Questão 01

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

a) 48

b) 210

c) 258

d) 320

e) 507

Questão 02

Quantas palavras de quatro letras distintas podemos formar com as letras CONTAGEM?

a) 81

b) 542

c) 1 130

d) 1 680

e) 1 824

Questão 03

Paula, André, Lucas, Beatriz, Carlos e Vanessa são amigos e sempre saem para passear. Certo dia, foram a um parque. Quando chegaram encontraram apenas um banco disponível. Sabendo que nesse banco só há espaço para três pessoas por vez, de quantas maneiras distintas esses amigos podem se sentar nesse banco?

a) 120

b) 230

c) 365

d) 408

e) 489

Questão 04

Numa aula de geografia, uma criança que possui 6 cores em uma paleta deseja colorir o mapa com os estados da região Sudeste do Brasil, cada um com uma cor diferente. Dessa forma, de quantas maneiras diferentes ela poderá pintar esse mapa?

a) 120

b) 150

c) 185

d) 240

e) 360

Questão 05

Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria?

a) 30! / (30-26)!

b) 30! / 4!

c) 30! / 26!

d) 30! / (26 + 4)!

e) 30!

Em breve teremos uma seção com as respostas comentadas. Para ver o gabarito, clique no botão abaixo.