Модели авторегрессии стационарных временных рядов

Базовую информацию по работе с одномерными временными рядами см. здесь.

Временной ряд называют стационарным, если для него выполняются три условия:

В случае, если одно из приведенных условий нарушено, ряд называют нестационарным.

Для проверки третьего свойства стационарности от расчета коэффициентов автоковариации переходят к коэффициентам автокорреляции.

Автокорреляция - это корреляционная зависимость между текущими и предыдущими уровнями одного и того же временного ряда. Последовательность коэффициентов автокорреляции 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией, а ее графическое изображение - коррелограммой.

Коэффициент автокорреляции k-го порядка можно рассчитать по формуле:

Т.е. коэффициент автокорреляции k-го порядка рассчитывается как обычный коэффициент парной линейной корреляции между рядом y_t и рядом y_t-k .

Если все значения автокорреляционной функции не "зашкаливают" (являются невысокими), то можно предполагать выполнение третьего условия стационарности.

Значения коэффициентов автокорреляции могут дать дополнительную информацию независимо от того, является ли ряд стационарным. Например, если ряд содержит линейную или близкую к линейной тенденцию, то коэффициент автокорреляции 1-го порядка для него обычно существенно отличается от нуля. Если ряд содержит периодичность с циклом k, то коэффициент r_k для него будет зашкаливать.

Метод отклонений от тренда

В некоторых случаях для стационарного ряда y_t можно построить модель авторегрессии порядка p:

Порядок p данной модели подбирают с помощью автокорреляционной функции: если значение r_i является достаточно высоким и отличается от своих соседей, то в модель целесообразно включить переменную y_t-i. Свободный коэффициент в данной модели может отсутствовать, если он статистически незначим.

Остатки этой модели также будут являться временным рядом, для них тоже можно рассчитать автокорреляционную функцию и проследить, чтобы все ее значения были близки к нулю. Тем самым проверяется предпосылка об отсутствии автокорреляции в остатках модели.

В итоге модель авторегрессии должна содержать только статистически значимые слагаемые и в ее остатках должна отсутствовать автокорреляция.

Модели авторегрессии являются частным случаем построения моделей ARIMA(p; d; q). Отсутствие в модели данного типа слагаемых скользящего среднего (MA) предполагает q = 0. d - это порядок интегрируемости ряда, p - порядок модели авторегрессии. Например, модель, приведенная выше, соответствует ARIMA(p; 0; 0).