2.1 Definición de variable, función, dominio y rango

• Variable

Una variable es un símbolo utilizado para proponer fórmulas, algoritmos o ecuaciones. Esta, a su vez, puede tomar diferentes valores, dependiendo estos de otras variables, así como de una serie de parámetros y de ciertas constantes.

Las variables matemáticas suelen representarse por X, Y o Z y van acompañadas de números u otras letras, a los que llamaremos parámetros. Cuando hay un número elevado de variable se suelen utilizar subíndices en la nomenclatura. De esta forma, se utiliza solo una letra con una numeración.

Las variables pueden ser independientes o dependientes. Las primeras toman valores a los que llamamos exógenos, mientras que en las segundas los denominamos endógenos. Es decir, las primeras son explicativas de las segundas. De esta forma, dando valores a una podemos obtener los de la otra.

Así, las independientes tienen un número o parámetro que las acompaña. Indica como varía la dependiente en función de estas. El valor absoluto informa sobre el tamaño de dicha variación, mientras el signo aclara si esta es directa (en la misma dirección) o inversa (en dirección contraria).

• Función

Una función es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda.

Por ejemplo, si decimos que el valor de la temperatura del día depende de la hora a la que la consultemos, estaremos sin saberlo estableciendo entre ambas cosas una función. Ambas magnitudes son variables, pero se distinguen entre:

Variable dependiente. Es la que depende del valor de la otra magnitud. En el caso del ejemplo, es la temperatura.

Variable independiente. Es la que define la variable dependiente. En el caso del ejemplo es la hora.

De esta manera, toda función matemática consiste en la relación entre un elemento de un grupo A y otro elemento de un grupo B, siempre que se vinculen de manera única y exclusiva. Por lo tanto, dicha función puede expresarse en términos algebraicos, empleando signos de la siguiente manera:

f: A → B               a → f(a)

En donde A representa el dominio de la función (f), el conjunto de elementos de partida, mientras que B es el codominio de la función, o sea, el conjunto de llegada. Por f(a) se denota la relación entre un objeto arbitrario a perteneciente al dominio A, y el único objeto de B que le corresponde.

Estas funciones también pueden representarse como ecuaciones, acudiendo a variables y signos aritméticos para expresar la relación existente entre las magnitudes. Dichas ecuaciones, a su vez, podrán resolverse, despejando sus incógnitas, o bien ser graficadas geométricamente.

• Dominio

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente. Es decir, el dominio es el valor de todos los valores de x que funcionarán y harán que la función retorne valores reales de y.

Podemos determinar el dominio de la función al buscar los valores de la variable independiente (usualmente la x), los cuales sí podemos usar en la función. Usualmente, esto implica evitar valores que producen un 0 en el denominador de fracciones o evitar tener valores negativos dentro de raíces cuadradas.

Entonces, para encontrar el dominio, lo importante es recordar que:

El denominador de una fracción no puede ser cero.

El número dentro de una raíz cuadrada debe ser positivo.

• Rango

El rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente luego de haber sustituido el dominio. Es decir, el rango son los valores resultantes de y que obtenemos después de haber sustituido todos los posibles valores de x.

Para encontrar el rango tenemos en cuenta lo siguiente:

El rango de una función es el conjunto de valores de y desde el valor mínimo hasta el valor máximo.

Podemos sustituir algunos valores de x para determinar lo que sucede con los valores de y. Podemos averiguar si es que los valores de y son siempre positivos, siempre negativos.

Asegúrate de encontrar los valores mínimos y máximos de y.

Traza una gráfica básica para visualizar el problema.