・p102 例4.3.7
G=四次対称群、N=クラインの四元群としてG/N≅ 三次対称群.
三次対称群は可解なのでGは可解とあるがここの不親切さはさすがにヤバい.
一般に以下の命題が成立します.
Prop
NがGの正規部分群でG/N、Nが可解ならばGは可解
(Nは可解なのでこの命題が成立すれば上の主張はわかりますね？この命題割と触っといた方が良いやつだと思うんですが……)
Proof
G/Nが可解なので列G0/N(=G/N),G1/N,...Gn/Nが存在する(Gn/N≅ {e}なのでGn=Ｎであることに注意)
またNが可解なのでN0(=N),N1,...Nn(={e}) が存在する.ここで
G0,G1,...,Gn(=N),N1,...NnはGの欲しい列になっている
なぜならば、第三同型定理からGi/Gi+1≅ (Gi/N)/(Gi+1/N)であることがわかるが右辺はG/Nの可解列であることからAbel群であり,
Gi/Gi+1もAbel群であることから可解列が得られたことになる ■