補数

以下とても素晴らしい質問が来たので、長々と解説してしまいました。が、補数について疑問に思わなかったり、読みたくなければ読まなくて結構です。

【質問】（一部抜粋）質問です。 十進数の－9を2進数で表すとどうなるのですか？ （略）－8より小さい数または7より大きい数を2進数で表す方法がわからないです(左端1ビットを符号部とする場合)。 十進数における－8より小さい数または7より大きい数を2進数で表現するとどうなるのか考えましたが、符号部を除いて4桁になってしまうので、どこに符号部をつけるのかわかりません。(Sさん)

【回答】大変すばらしい気付きです！！ありがとう！！！結論から言うと、「（二進法4bit/4桁の補数表現では）-8より小さい数や+7より大きい数は表せません」。

十進法で説明すると、十進法一桁で、符号を使わずに補数による負の数を考えたばあい「－５～＋４」しか表せないので「＋７」などは無理、ということになります。今回の補数は十進法で説明します。

補数とは

「補数」とは何か、十進法で説明します。

補数は結構みんな普通に使っていて、

７←→３
８←→２
のように足したら「１０」になる相手の数値だったり、

７２←→２８
６４←→３６
のように足したら「１００」になる相手の数値。
あといくつ足せばちょうどピッタリになるのかという数値ことを補数と言います。暗算するときに考えますよね。

補数を使うと、引き算が足し算でできる、という利点があります。ん？引き算が足し算でできる？？？

補数の作り方（何進法でも共通）

ある数ｘの補数の作り方を示します。

1. 何桁か決める

2. その桁最大値からｘを引く

3. １を足す

この手順は覚えてくださいね！

補数を使って引き算を足し算にする

さっそくやってみましょう。２という数値があるとします。この補数を考えてみます。まず、一桁で考えてみます。２にあといくつ足せばピッタリになるか。８です。すぐにわかります。が、一応上記の手順に従ってやってみると、①一桁とする、②一桁最大値は９だから９－２＝７、③７＋１＝８。ということで８ですね。

２＋８＝１０　ピッタリ！

ということで、「８は２の補数である」という言い方をします。この時、８は「－２」と同じ働きをする数値として扱うことができます。どういうことか。試しに３引く２という引き算を足し算で考えてみましょう。

３－２＝３＋（－２）

ここで、－２と同じ働きをする８に置き換えると、

３－２＝３＋（－２）＝３＋８＝１１

となりますね。最初に「一桁で考えてみます」と書きましたが「１１」は二桁です。十の位は桁あふれとして無視します。

３－２＝３＋（－２）＝３＋８＝１１→（二桁目の１０を無視して）→１

∴３－２＝１

はい。引き算を足し算で計算できました。……わかりました？

同様に４引く２でやってみると

４－２＝４＋（－２）＝４＋８＝１２→（１０を無視して）→２

∴４－２＝２

ですね。

二桁で補数を考える

では2桁で考えてみます。２という数値の補数はいくつになるか。①二桁で、②二桁最大値は９９だから９９－２＝９７、③９７＋１＝９８。

２＋９８＝１００　ピッタリ！

「９８は２の補数である」と言えます。この９８は「－２」と同じ働きをします。

３７－２＝３７＋（－２）＝３７＋９８＝１３５→（二桁なので１００を無視して）→３５

∴３７－２＝３５

できました。他の計算もいろいろやってみてください。

さて、２に対する補数、さっきは「８」でこんどは「９８」でどっちなの？と思った方もいると思います。どちらも補数の候補としては正解なわけなのですが、８でも９８でもどっちでもＯＫ！というわけではありません。ポイントは「①何桁か決める」です。補数を考えるうえで、何桁でのことなのかがまず最初にあります。「２」の補数は、一桁なら「８」、二桁なら「９８」、三桁なら「９９８」です。

表せる範囲

「８」と言われたらそのまま「＋８」と受け取っていいのか、「－２」のように補数で考えるのか。それは「いま何桁で考えているのか」という前提を思い出し、一桁の補数表現では「－２」、二桁以上なら「＋８」ということになります。

最初の質問の二進法の補数にも一応触れておくと、4bitでは「0000～0111」までが十進法で＋０～＋７、「1000～1111」までは十進法で－８～－１になります。最上位bit（一番大きな位、つまり左端）が「0」ならば正の値、「1」ならば負の値ということが分かるので、この位を「符号部」と呼んでいます。ということで、4bitで表せるのは－８～＋７の間。その範囲を出るなら、5bit以上必要になります。