Método de Interpolación y Método de Lagrange

Definición

La interpolación es un método numérico que permite estimar el valor de una función en un punto no conocido dentro de un intervalo definido por un conjunto de puntos conocidos.

El método de interpolación de Lagrange es una técnica de interpolación polinómica que utiliza una combinación lineal de polinomios base para obtener un polinomio que pase exactamente por un conjunto de puntos dados.

Antecedentes

La interpolación se ha usado desde la antigüedad en astronomía y navegación para predecir posiciones planetarias.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) formalizó su método en el siglo XVIII como parte del desarrollo del cálculo numérico y análisis matemático.
Con el avance de la computación, la interpolación polinómica se ha vuelto esencial en simulaciones numéricas e ingeniería.

Metodos relacionados

Regresión polinómica

Interpolación de Newton

Interpolación de spline

Formula

Dado un conjunto de puntos (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn), el polinomio interpolante de Lagrange Pn(x) se define como:

Pn(x): Polinomio interpolante de grado n, que estima los valores de la función en puntos intermedios.
n: Número de puntos conocidos menos uno (es decir, si tienes n+1 puntos, el polinomio será de grado n).
x: Variable independiente donde se desea estimar el valor de la función.
yi: Valores de la función en los puntos conocidos, es decir, yi=f(xi).

Donde cada Li(x)es el polinomio base de Lagrange:

Li(x): Función polinómica que es 1 en xi y 0 en todos los demás puntos xj con j≠i
xi: Valores conocidos de la variable independiente.
xj: Otros valores conocidos de la variable independiente (excepto xi)
∏ : Producto sobre todos los valores xj excepto xi, asegurando que el polinomio pasa por los puntos dados.

Algoritmo

Entrada: Conjunto de puntos (xi,yi)
Inicializar Pn(x)=0
Para cada punto (xi,yi):

Calcular Li(x) usando la fórmula dada.
Multiplicar Li(x) por yi y sumarlo a Pn(x)

Salida: Polinomio interpolante Pn(x)

Aplicaciones en la vida diaria (IQ)

Modelado de reacciones químicas: Para estimar concentraciones de reactivos o productos en puntos intermedios de una reacción.
Interpolación de datos termodinámicos: Predicción de propiedades como calor específico, entalpía y conductividad térmica en valores no tabulados.
Simulación de procesos industriales: Ayuda en el ajuste de curvas de temperatura, presión y composición en equipos como reactores y destiladores.
Control de procesos: Se usa en algoritmos de control predictivo para interpolar mediciones y hacer predicciones en tiempo real.

Ejemplo

Page updated

Google Sites

Report abuse