Son técnicas iterativas para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax=b, donde A es una matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes.
Tienen sus raíces en el desarrollo de técnicas numéricas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, una necesidad fundamental en matemáticas aplicadas, ingeniería y ciencias computacionales.
En la antigüedad, los sistemas de ecuaciones se resolvían con métodos algebraicos como la eliminación de Gauss, desarrollada por Carl Friedrich Gauss en el siglo XIX.
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), un matemático alemán, propuso este método como una forma de resolver ecuaciones en sistemas lineales mediante aproximaciones sucesivas. En el siglo XX, con la llegada de la computación numérica, este método se popularizó debido a su eficiencia en problemas de ingeniería y física.
El método se basa en la siguiente regla de actualización para los elementos de la matriz transformada:
D es la matriz diagonal de A
L es la parte triangular inferior sin la diagonal.
U la parte triangular superior sin la diagonal.
Este método es una mejora del de Jacobi, donde los valores de las incógnitas se actualizan inmediatamente en cada iteración. La matriz AAA se descompone en:
D es la matriz diagonal de A
L es la parte triangular inferior sin la diagonal.
U la parte triangular superior sin la diagonal.
Entrada:
Matriz de coeficientes A de dimensión n×n
Vector de términos independientes b
Vector inicial de soluciones x(0).
Tolerancia ϵ
Número máximo de iteraciones kmax
Pasos:
Establecer una estimación inicial para x(0)
Para cada iteración k hasta kmax
Retornar el vector solución xxx.
Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel tienen diversas aplicaciones en ingeniería química, especialmente en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que surgen en la modelación y simulación de procesos químicos.
En ingeniería química, el método de Gauss-Seidel se prefiere en muchos casos debido a su rápida convergencia, mientras que Jacobi es útil en sistemas con estructuras especiales, como ecuaciones de diferencias finitas en problemas de difusión.