Se encarga de buscar una raiz de una funcion a partir de un valor inicial, una tolerancia y un numero "n" de interaciones.
A lo largo del siglo XIX, la teoría matemática avanzada comenzó a desarrollar más formalmente los métodos para resolver ecuaciones no lineales. Un avance clave fue el teorema del punto fijo de Banach (1922), que proporciona condiciones bajo las cuales el método de punto fijo garantiza la convergencia hacia una solución. A mediados del siglo XX, el desarrollo de las computadoras permitió aplicar métodos iterativos como el de punto fijo en la resolución de ecuaciones complejas de manera más eficiente. En la teoría moderna de métodos numéricos, el método de punto fijo se sigue utilizando y perfeccionando para resolver diversos problemas de análisis numérico y de optimización, especialmente cuando no se pueden encontrar soluciones exactas de forma directa.
La fórmula iterativa para calcular sucesivas aproximaciones de la raíz es:
Donde g(x) es una función que transforma la ecuación original en una forma iterativa. Así, el proceso de encontrar una solución se realiza mediante una secuencia de aproximaciones.
Una función g(x), que debe estar derivada de la ecuación original f(x)=0 tal que x=g(x).
Un valor inicial x0x_0x0 (aproximación inicial).
La aproximación x de la solución (punto fijo).
ε: La tolerancia que define la precisión deseada. El algoritmo continuará iterando hasta que la diferencia entre dos iteraciones consecutivas sea menor que ϵ\epsilonϵ.
Número máximo de iteraciones: Para evitar ciclos infinitos en caso de que el método no converja.
En química de equilibrio, muchas veces se deben resolver ecuaciones que no se pueden despejar fácilmente para obtener la concentración de los compuestos en equilibrio El cálculo del pH de una solución con múltiples ácidos y bases, o en sistemas de equilibrio ácido-base, puede implicar la resolución de ecuaciones no lineales. El pH está relacionado con la concentración de iones hidrógeno [H+],que se puede obtener a partir de las ecuaciones de disociación. Si estas ecuaciones son complejas, el método de punto fijo puede ser utilizado para encontrar el valor correcto de [H+] de forma iterativa.
El método de punto fijo se puede usar para resolver ecuaciones no lineales que surgen en la termodinámica, como las que describen la energía libre de Gibbs, el potencial químico o las ecuaciones de estado de los gases ideales o reales. En algunos casos, estos cálculos implican encontrar el valor de una variable (como la temperatura o la presión) a partir de una ecuación que no se puede resolver analíticamente.