Método de Milne

El método de Milne, propuesto por el matemático británico William Edmund Milne en la década de 1920, es un método numérico predictor-corrector para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Fue diseñado como una mejora a los métodos de integración numérica anteriores, usando una combinación de interpolación polinómica y fórmulas de cuadratura. Desde entonces, se ha convertido en una técnica clásica en métodos numéricos, especialmente útil cuando se busca mayor precisión sin aumentar demasiado el costo computacional. 

Este método utiliza una secuencia de valores previos de la función y sus derivadas para predecir un nuevo valor (predictor), y luego refina ese valor usando una fórmula de corrección (corrector). Se basa en la fórmula de Simpson y la interpolación de Newton hacia adelante, permitiendo resolver problemas de valor inicial. Requiere conocer varios valores iniciales (usualmente obtenidos por otro método como Runge-Kutta) antes de aplicarlo, y su ventaja es que ofrece buena precisión con menos evaluaciones de la función.

Se usa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de forma numérica, especialmente en modelado de sistemas físicos, biológicos, eléctricos y dinámicos. Es útil en simulaciones que requieren integración a pasos fijos con control de error, como en análisis de circuitos eléctricos, dinámica de cuerpos, predicción de trayectorias y reacciones químicas. Gracias a su esquema predictor-corrector, permite mantener precisión sin recalcular demasiadas derivadas 

% Método de Milne en Octave

% EDO: y' = f(x, y)

% Entradas: f (función), x0, y0, h (paso), n (número de pasos)

function milne_method()

    % Definir la función diferencial y' = f(x,y)

    f = @(x, y) x + y;  % Puedes cambiar esto por tu EDO

    % Condiciones iniciales

    x0 = 0;

    y0 = 1;

    h = 0.1;

    n = 10;  % número de pasos totales

    % Inicializar vectores

    x = x0:h:x0 + n*h;

    y = zeros(1, length(x));

    y(1) = y0;

    % Usamos Runge-Kutta de orden 4 para los primeros 3 valores

    for i = 1:3

        k1 = f(x(i), y(i));

        k2 = f(x(i) + h/2, y(i) + h*k1/2);

        k3 = f(x(i) + h/2, y(i) + h*k2/2);

        k4 = f(x(i) + h, y(i) + h*k3);

        y(i+1) = y(i) + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);

    end

    % Aplicar Milne predictor-corrector

    for i = 4:n

        % Predictor de Milne

        y_pred = y(i-3) + (4*h/3)*(2*f(x(i-2), y(i-2)) - f(x(i-1), y(i-1)) + 2*f(x(i), y(i)));

        % Corrector de Milne

        f_next = f(x(i+1), y_pred);

        y(i+1) = y(i-1) + (h/3)*(f(x(i-1), y(i-1)) + 4*f(x(i), y(i)) + f_next);

    end

    % Imprimir resultados

    printf("x\t\ty\n");

    for i = 1:length(x)

        printf("%.2f\t%.6f\n", x(i), y(i));

    end

end

% Ejecutar el método

milne_method();