La "pendenza del grafico"
in un punto
Obiettivo. Definire la "pendenza del grafico" di una funzione quadratica in un punto attraverso il concetto di tangente appena introdotto
Troviamo rette tangenti con pendenza negativa e nulla
Iniziamo definendo altre tangenti al grafico di 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 ; nel sito sono disponibili le applet e i passaggi algebrici per i punti: (0, 0) (tangente con pendenza nulla) e (-6, f(-6)) (tangente con pendenza negativa).
Generalizziamo: la pendenza del grafico in un punto
La seguente applet ci permette di scegliere un punto P appartenente alla parabola (specificandone l'ascissa xP) e un intervallo [a,b] attorno a P, e di ingrandire a destra l'intervallo usando lo slider λ per vedere come si comporta la retta tangente in quel punto. Osserviamo quindi che le tangenti definite soddisfano la proprietà che volevamo.
La nostra costruzione soddisfa la proprietà che volevamo, cioè vicino ad un punto di tangenza la parabola è molto simile alla retta tangente in quel punto: più ci avviciniamo, più i due tratti sembrano coincidere.
Aver definito la retta tangente ad una parabola in un punto, ci permette di parlare anche della pendenza del grafico di una funzione quadratica (o polinomiale di secondo grado).
Consideriamo la nostra funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 , il cui grafico sappiamo essere una parabola. Diremo che il grafico di f nel punto (3, f(3)) ha pendenza pari alla pendenza della retta tangente al grafico di f in quel punto.
La retta tangente al grafico di f in (3, 3) è y=2x -3
La retta tangente al grafico di f in (0, 0) è y=0
La retta tangente al grafico di f in (-6, 12) è y=-4x-12
Quindi:
La pendenza del grafico di f nel punto (3, 3) è 2
La pendenza del grafico di f nel punto (0, 0) è 0
La pendenza del grafico di f nel punto (-6, 12) è -4