La pendenza della retta
Obiettivi
Rafforzare la padronanza dell'uso del rapporto, quando questo viene implicitamente richiesto per la risoluzione di un problema
Consolidare il concetto di pendenza del segmento, della retta e di una spezzata
Saper confrontare la pendenza di segmenti o di rette differenti
Materiale utilizzato
Google Moduli
Geogebra
Prime considerazioni: la pendenza della strada
I due grafici seguenti rappresentano due tratti di strada, in cui l'asse x rappresenta lo spostamento in orizzontale dei tratti di strada e l'asse y rappresenta il dislivello. Si vuole mettere in luce la differenza fra dislivello e pendenza e l'importanza dell'uso del rapporto.
Si indagano i concetti di spostamento orizzontale e dislivello attraverso le seguenti domande guida:
Quant'è lo spostamento in orizzontale dei due tratti di strada?
Quanto dislivello c'è nei due tratti strada?
Dopo una breve discussione, si lancia un questionario (visualizza - copia) a scelta multipla:
Qual è la pendenza della strada 1?
Qual è la pendenza della strada 2?
Di seguito, altri esempi sulla necessità dell'uso del rapporto.
strade.pptxLa pendenza della retta
Si riprende il concetto di pendenza della retta di equazione y=mx+q, partendo dall'esempio in questione (y=0,125x+25).
Domande guida per la discussione:
Che informazioni mi dà m sulla retta?
Che pendenza ha il segmento AB rispetto alla retta?
Confrontare le pendenze: il sentiero
Estendiamo il concetto di pendenza ad una spezzata, che ci permette di confrontare la pendenza dei tratti. Il seguente grafico ci mostra un sentiero di montagna. L'asse orizzontale rappresenta la lunghezza del percorso, mentre l'asse verticale rappresenta il dislivello.
Assegniamo un questionario (visualizza - copia): quali sono le pendenze dei tratti AB e CD?
Discutiamo con gli studenti come varia la pendenza usando la seguente applet. Il grafico seguente è dinamico: possiamo spostare il punto P e percorrere il sentiero. A seconda della posizione del punto P, il grafico ci mostra la pendenza del tratto che stiamo percorrendo.
(Link per aprire l'applet in una nuova finestra: https://www.geogebra.org/m/vykhgt6t )
Domande guida per la discussione su m:
Che valori di m ci sono nei vari tratti?
Se m varia, come variano i tratti del grafico? Trattiamo separatamente i casi m>0 e m<0, nell’ottica della futura introduzione del concetto di derivata: vorremmo che lo studente riuscisse a fare considerazioni come “quando la derivata di f assume valori negativi ed è crescente, il grafico di f si appiattisce; quando assume valori negativi ed è decrescente, il grafico diventa più ripido” e similmente nel caso in cui la derivata assuma valori positivi, pertanto preferiamo mantenere le due situazioni separate anziché usare il modulo.
Nei tratti AB, BC, DE m è positivo, mentre m è negativo nel tratto CD. Infatti, come vediamo dal grafico, il tratto CD viene percorso in discesa rispetto agli altri tre.
Dato che m può essere sia positivo che negativo, vediamo come variano i tratti del grafico nei vari casi.
• m > 0 : Il tratto è in salita. Più m è grande, più il tratto è pendente. Lo possiamo vedere bene facendo scorrere il punto P: ad esempio, m è più grande nel tratto BC rispetto al tratto AB e il tratto BC è più inclinato.
• m < 0 : Il tratto è in discesa. Più m diminuisce, più la discesa è ripida. Mentre, quando m (cioè si avvicina allo 0), diventa meno ripida. Ad esempio, nel tratto CD m=-0.05 e nel tratto FG m=-0.03. Dunque mCD < mFG : il tratto CD è più pendente.
• m = 0 : Il tratto ha pendenza nulla, cioè è parallelo all'asse orizzontale. Ad esempio, il tratto EF.
La seguente applet evidenzia la differenza fra la ripidità quando m aumenta ed è positivo e la ripidità quando m aumenta ed è negativo. Nell’applet Geogebra seguente vediamo rappresentate due rette r1 e r2. La retta r1 ha pendenza pari a m mentre la retta r2 ha pendenza pari a -m.
Attività di consolidamento. In ogni coppia di coefficienti m, quale determina la retta più pendente?
m1 = -5, m2 = -10
m1 = -3, m2 = -1.2
m1 = -0.1, m2 = -0.02
m1 = -6/5, m2 = -8/3
Abbiamo visto che più m diminuisce, più la discesa è ripida.
-5 > -10, quindi il secondo coefficiente mi dà una retta è più ripida, più pendente.
-3 < -1.2, quindi il primo coefficiente mi dà una retta più ripida, più pendente.
-0.1 < -0.02, quindi il primo coefficiente mi dà una retta più ripida, più pendente.
Confrontiamole: -6/5=-18/15 e -8/3=-40/15. Allora -18/15 > -40/15, cioè -6/5 > -8/3 . Allora il secondo coefficiente mi dà una retta è più ripida, più pendente.