Pendenza e funzioni cubiche

Obiettivi

  • Estendere il metodo nel caso di funzioni cubiche

  • Affrontare una tipica misconcezione che non veniva evidenziata nel caso della parabola: la tangente non può intersecare il grafico in punti diversi da quello di tangenza

  • Introdurre i punti di flesso come punti in cui la pendenza del grafico è nulla ma non sono né picchi né valli

Materiale utilizzato

  • Socrative o Google Moduli

  • Geogebra

Tempo dedicato: 1 ora

Il caso della funzione 𝑓(𝑥)=(1/100)𝑥3

Consideriamo la funzione f(x)=(1/100)x3. Il suo grafico, con x compreso fra -12 e 12, è rappresentato a destra.

Usando la seguente applet, proviamo a vedere se riusciamo a costruire la retta tangente al grafico di f nel punto Q di coordinate (6, f(6)), seguendo il metodo usato nel caso delle parabole.

pendenza cubica.pptx

Si trova che la retta tangente ha equazione y = 1.08x - 4.32. Discutiamo con gli studenti l'andamento della funzione e il segno della pendenza, usando l'applet e le domande guida:

  1. Cosa possiamo dire del segno della pendenza della retta tangente al grafico di f(x)=(1/100)x3 al variare di x?

  2. Come si comporta il grafico di tale funzione? Cosa succede ai valori della funzione modificando le coordinate del punto verde?

  1. Modificando l'ascissa del punto verde, notiamo che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto verde è sempre positiva. Inoltre, la pendenza si annulla quando x vale 0.

  2. Notiamo che, se percorriamo il grafico partendo da un punto e andando nel verso valori crescenti sull'asse delle ascisse, "stiamo salendo", cioè i valori assunti dalla funzione stanno aumentando. Quindi, la funzione sta crescendo e possiamo immaginare che la funzione continui a crescere, osservando la sua espressione analitica.

Per la discussione, dopo le prime congetture, può aiutare visualizzare la pendenza della tangente e il valore della funzione. Scrivendo nella barra di inserimento P=True compare la pendenza della retta tangente al grafico nel punto verde. Scrivendo, invece, F=True compare il valore della funzione f calcolata nella x corrispondente.

Alcune osservazioni

  • Nel caso della parabola, dove la pendenza era nulla, la funzione aveva un 'picco' o una 'valle'. In questo caso, invece, non è così. Infatti, la pendenza della retta tangente si annulla nel punto (0, 𝑓(0)). Quindi, oltre ai punti in cui la funzione ha un 'picco' o una 'valle', esistono altri punti in cui la pendenza della retta tangente si annulla.

  • Non ci sono intervalli in cui la pendenza è negativa, quindi la funzione non decresce mai: questa funzione è sempre crescente.

  • Rimpiccioliamo il grafico. Cosa osserviamo della retta tangente ad f nel punto Q=(6, f(6))? C'è qualcosa in contrasto con il metodo che stiamo usando?

Osserviamo che la retta tangente interseca il grafico di f non solo nel punto Q di tangenza, ma anche in un secondo punto, segnato in giallo nell'immagine qui a lato.
Questo fatto non è in contrasto con la nostra idea di tangente. Infatti, abbiamo costruito la retta tangente alla parabola in un punto in modo che la retta assomigliasse sempre più alla parabola attorno al punto di tangenza e abbiamo scartato la definizione usata per la circonferenza (che contava i punti di intersezione fra retta tangente e parabola). Così abbiamo fatto anche per le cubiche.

Ci stacchiamo sempre di più dalla definizione che avevamo dato per la circonferenza:

La retta tangente al grafico di una funzione cubica in un punto Q è quella retta che passa per Q e che assomiglia molto al grafico della funzione vicino al punto di intersezione.

Non ci interessa cosa accade fra la retta e il grafico della cubica in punti diversi da Q. Ci interessa il loro legame attorno al punto Q.