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Obiettivi
Affrontare un problema di massimo, per portare un esempio concreto dell’utilità del concetto di pendenza, come strumento per ricavare determinate informazioni
Riassumere quanto visto finora
Valorizzare il significato di relazione funzionale
Materiale utilizzato
Google Moduli
Software di foglio di calcolo (esempi: Microsoft Excel, Google Fogli)
Tempo dedicato: 2 ore
Abbiamo a disposizione un foglio rettangolare di lati 20 cm e 28 cm. Vogliamo costruire una scatola senza coperchio. Come possiamo fare? Viene fatta costruire una scatola ad ogni studente. Il problema non viene inizialmente spiegato: si vuole favorire l'indagine.
Costruzione: Da ogni lato del foglio ricaviamo una parete della nostra scatola. Per farlo, ritagliamo gli angoli del foglio e pieghiamo quelle che saranno le pareti della nostra scatola, disponendole in verticale. Le pareti della scatola devono essere della stessa altezza, altrimenti avremo una scatola "storta"; pertanto, ritagliamo quattro quadrati uguali in ogni angolo.
Si assegna un questionario (visualizza - copia) con le seguenti domande
Considera la base della scatola che hai costruito. Misura la lunghezza del lato corto e riportala qui.
Misura la lunghezza del lato lungo della base e riportala qui.
Misura l'altezza della scatola e riportala qui.
Qual è il volume della tua scatola?
Alcuni tuoi compagni hanno costruito delle scatole di altezza diversa. Secondo te hanno ottenuto lo stesso volume? Motiva la tua risposta.
Per discutere le domande si crea un foglio di calcolo con i valori ottenuti dagli studenti (eventualmente sfruttando il foglio di calcolo con i risultati del Moduli). Ne riportiamo un esempio nell'immagine seguente. Si discute con gli studenti per mettere in luce come tutte le quantità dipendano solo dalla lunghezza del taglio, quindi il volume dipende solo dalla lunghezza del taglio.
Viene enunciato il problema:
Riusciamo a costruire una scatola partendo da un foglio di dimensioni 20 cm x 28 cm in modo che abbia più volume possibile?
Abbiamo visto che il volume della scatola dipende dalla lunghezza del taglio che facciamo. Quindi, per trovare la scatola di volume massimo dobbiamo capire che taglio fare.
Iniziamo calcolando il volume della scatola
Base della scatola
Dato che tutti i quadratini che ritagliamo sono uguali, possiamo concentrarci e ragionare su un solo quadratino con lato lungo x
2. L'altezza della scatola è pari a x.
3. Volume della scatola costruita con un taglio pari a x:
V = area base x altezza = (28 - 2x)(20 - 2x)x
Poiché il volume varia in funzione di x, possiamo definire una funzione "volume" V in questo modo:
Nella seguente applet a sinistra possiamo inserire il valore x del taglio e vedere a quanto corrisponde il volume, a destra vediamo la costruzione della scatola.
Quindi, la nostra domanda ora diventa:
C'è un valore di x per il quale otteniamo il volume V più grande possibile?
Vediamo se ci sono dei limiti nei valori che x assume. Assieme agli studenti troviamo due limitazioni.
Possiamo non fare alcun taglio: in quel caso allora x è pari a 0.
2. Possiamo fare il taglio più lungo possibile, che il nostro foglio ci consente. Consideriamo il lato più corto, lungo 20 cm.
Dato che dobbiamo fare due tagli su questo lato, allora la somma delle loro lunghezze sarà uguale al più alla lunghezza del lato. In questo caso allora vale:
taglio n°1 + taglio n°2 = 20
x + x = 20
2x = 20
x = 10
Possiamo fare tutti i tagli di lunghezza compresa fra 0 (la minima) e 10 (la massima). Abbiamo trovato un intervallo di valori in cui possiamo restringere la nostra ricerca:
0 < x < 10
Dell'intervallo 0 ≤ x ≤ 10 abbiamo escluso due valori.
Se proviamo a costruire la scatola facendo un taglio "nullo", come abbiamo visto sopra ci rimane il nostro foglio: l'altezza è nulla e non costruiamo alcuna scatola. Allora scartiamo il valore 0.
Se proviamo a costruire la scatola facendo il taglio lungo 10, come abbiamo visto sopra la base è nulla e non riusciamo a costruire alcuna scatola. Scartiamo anche il valore 10.
C'è un valore di x, con 0 < x < 10, per il quale otteniamo il volume V più grande possibile?
Assegniamo un questionario (visualizza - copia) con il seguente quesito:
Abbiamo visto che per x pari a 5 il volume è V(5) = 900. Secondo te, se aumentiamo x, come cambia il volume V?
Facciamo emergere con gli studenti l'esigenza di disegnare il grafico della nostra funzione volume, poiché con l'espressione analitica della funzione volume V non riusciamo a vedere cosa succede.
La seguente applet ci permette di vedere a sinistra il foglio con i tagli che possiamo fare e di regolare la lunghezza del taglio; a destra possiamo vedere che valori assume la funzione volume, quando x varia. Esprimendo la lunghezza del taglio in centimetri, il volume assume valori molto grandi rispetto alle dimensioni del foglio di carta, quindi è conveniente esprimere il valore di x in decimetri.
Determiniamo alcuni punti e, quindi, ci costruiamo un’idea del grafico di V. In seguito, possiamo vedere il grafico cliccando su “Grafico funzione volume ”.
Domande guida per la discussione:
Per un generico punto (x,V(x)) del grafico cosa rappresenta il segmento rosso?
Cosa rappresenta il segmento blu?
Come possiamo descrivere il grafico?
Per un generico punto (x,V(x)) del grafico il segmento rosso rappresenta il valore di x (la lunghezza del taglio).
Il segmento blu rappresenta il valore V(x), cioè il volume della scatola associato al taglio x.
Partiamo da un taglio molto piccolo nel foglio a sinistra e aumentiamo il taglio: x si sta spostando dal valore 0 verso il valore 10. Osserviamo che:
inizialmente la nostra funzione volume sta crescendo: più aumentiamo x, più V(x) aumenta.
da un certo punto in poi la funzione volume diminuisce.
Allora la nostra funzione volume sembra raggiungere un picco per un certo valore di x:
Esiste un valore di x , con 0 < x < 10, per il quale V(x) è il più grande possibile
Esiste un valore di x , con 0 < x < 10, per il quale V(x) è il più grande possibile
Ricordando il legame fra andamento e pendenza, si evidenzia come nel punto (x, V(x)) cercato il grafico ha pendenza nulla. Per trovarlo, usiamo poi la seguente applet. Selezionando le caselle di controllo nel grafico di destra, facciamo apparire la retta tangente al grafico di V nel punto (x, V(x)) e la pendenza di tale retta. Muoviamo x finché non otteniamo la pendenza della retta pari a 0.
Osserviamo che per x pari a 0.384 la retta tangente in (x, V(x)) ha pendenza nulla: abbiamo raggiunto il picco.
Questo significa che, partendo da un foglio rettangolare di misura 28 cm x 20 cm, possiamo costruire la scatola con volume massimo facendo un taglio di 0.384 dm, cioè di 3.84 cm.
Concludiamo calcolando il volume massimo ottenibile per un foglio di quelle dimensioni:
cioè 961.31 cm3.
Partendo da un foglio rettangolare di misura 28 cm x 20 cm,
possiamo costruire la scatola con volume massimo pari a 961.31 cm3 facendo un taglio di 3.84 cm.
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