Approfondimenti
Obiettivo. Vedere come varia la pendenza in relazione alla traslazione della parabola lungo l'asse verticale
Si definisce la pendenza del grafico di f(x) =x2 nel punto A di coordinate (2, f(2)); si chiede poi di definire la pendenza del grafico di g(x) =x2 +1 nel punto B di coordinate (2, g(2)), facendo emergere che il grafico di g può essere ottenuto traslando il grafico di f.
Con la seguente applet possiamo vedere le due parabole e le due tangenti, in A e in B, osservando che q varia e discutendone la motivazione con la classe.
Domande guida per la discussione:
Perché le due rette tangenti hanno la stessa pendenza?
Cosa possiamo dire di q? Come cambia?
La parabola data da g(x) = x2 + 1 si ottiene traslando verso l'alto la parabola data da f(x) = x2.
Quindi, se traslata opportunamente, la parabola che è grafico di g coincide con la parabola grafico di f. Allora la pendenza dei due grafici nei punti A e B coincide.
Possiamo dire che, traslando la parabola verticalmente, nei punti in cui f e g hanno ascissa uguale le pendenze delle rette tangenti ai due grafici saranno uguali.
Concludiamo che la pendenza della retta tangente al grafico di g nel punto di ascissa pari a 2 coincide con la pendenza della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa pari a 2.La retta tangente al grafico di g in B è traslata di un valore +1 sull'asse y rispetto alla retta tangente al grafico di f in A. Infatti, qB = - 3 è più grande di un'unità rispetto a qA = - 4.
Questo accade perché i due punti hanno la stessa ascissa (xB = xA = 2), ma
yB = f(2) = 22
yA = g(2) = 22 + 1
Quindi l'ordinata di B è più grande di +1 rispetto l'ordinata di A.
Altre tangenti
Sono disponibili le applet e i passaggi algebrici anche per f(x) =x2 nel punto (2, f(2)). Inoltre, è disponibile la seguente applet, che può essere usata per costruire la retta tangente ad una funzione a nostra scelta in un punto arbitrario (può essere sfruttata per assegnare agli studenti la costruzione di altre tangente, sia in sincrono che in asincrono).