Derivata
Materiale per l'insegnante
Questo sito è dedicato all'insegnante. Viene riportata la descrizione del percorso a spirale per l'introduzione del concetto di derivata, dando la possibilità di testare gli strumenti digitali, come le applet Geogebra. Sono riportate le domande guida per ogni momento di discussione con gli studenti, unitamente alla traccia delle risposte, per delineare al meglio lo scopo della discussione.
Per gli studenti è disponibile la versione integrale del sito al seguente link https://sites.google.com/unitn.it/derivata-studente/home, come materiale didattico; è possibile richiedere una copia del sito, in modo da poterlo personalizzare.
Motivazioni teoriche
Questo percorso vuole presentare un approccio di tipo relazionale , che cerca di ritardare il passaggio alle procedure di calcolo, favorendo invece lo sviluppo di una comprensione profonda. Un apprendimento di questo tipo ha lo scopo di prevenire una serie di misconcezioni tipiche , che derivano da una mancata interiorizzazione del concetto di derivata, spesso conseguenza di un approccio procedurale. Ad esempio, fra le misconcezioni più ricorrenti emerge l’idea che il grafico della derivata sia lineare ed è dovuta alla scorretta identificazione del grafico della derivata con la retta tangente al grafico della funzione in un punto. Inoltre, anche comprendere il passaggio dalla nozione puntuale alla derivata come funzione è un processo delicato e tutt’altro che immediato; trattare la derivata concentrandosi sulla sua espressione analitica e manipolandola di conseguenza, non favorisce questo passaggio all’aspetto covariazionale.
Per privilegiare un apprendimento prevalentemente relazionale e tenere conto delle misconcezioni più diffuse, si vuole lavorare principalmente nel registro grafico-geometrico, lasciando la formalizzazione simbolica rigorosa al momento in cui gli studenti avranno le conoscenze e gli strumenti matematici necessari per affrontarla, come, ad esempio, il concetto di limite.
Parallelamente, il percorso permette di consolidare i prerequisiti, in particolar modo il concetto di funzione e di grafico.
La metodologia scelta nasce inizialmente dalla situazione emergenziale della pandemia e ha pertanto una forte impostazione digitale: è basata sull’uso degli strumenti online, che hanno lo scopo di stimolare l’inclusività, coinvolgendo singolarmente tutti gli studenti, e di permettere all’insegnante la raccolta di feedback utili per monitorare costantemente l’apprendimento della classe e modulare di conseguenza l’insegnamento. Questo percorso è stato testato anche in presenza e in situazioni di didattica mista; i risultati ottenuti sottolineano come questa metodologia sia efficace anche in presenza.
Riferimenti Bibliografici
Riferimenti bibliografici sull’approccio relazionale:
- Anna Sfard. “On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin”. In: Educational Studies in Mathematics 22 (feb. 1991), pp. 1–36. doi: 10.1007/ BF00302715.
- Richard R Skemp. “Relational understanding and instrumental understanding”. In: Mathematics teaching 77.1 (1976), pp. 20–26.
Riferimenti bibliografici relativi alle misconcezioni e alle difficoltà nell’apprendimento della derivata
- Zülal Şahin, Arzu Aydogan-Yenmez e Ayhan Erbas. “Understanding the concept of derivative: A case study with mathematical modeling”. In: Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education 11 (gen. 2015), pp. 177–188. doi: 10.12973/eurasia.2015.1149a.
- David Bressoud et al. Teaching and learning of calculus. Springer Nature, 2016, pp. 9–11.
- David Tall. Advanced Mathematical Thinking. Gen. 1996, pp. 6–7, 68–79. isbn: 978-0-7923-1456-1. doi: 10.1007/0-306-47203-1.
Strumenti digitali utilizzati
Software per sondaggi (Google Moduli, Socrative, Desmos). Servono a stimolare la partecipazione di tutti durante la lezione e permettono al docente di raccogliere i feedback istantanei di tutti gli studenti e di archiviarli in fogli di calcolo. Possono essere usati per assegnare i compiti per casa e ne facilitano la raccolta e la correzione.
Google Sites. Permette di avere un riferimento scritto appositamente per il percorso in oggetto e costituisce parte delle risorse concrete per lo studio. Per eventuali momenti di didattica a distanza, il sito può fungere da lavagna virtuale, aperto sul desktop dell’insegnante e condiviso quindi in videoconferenza con gli studenti.
Software di geometria dinamica (GeoGebra). Permette di cogliere l’aspetto dinamico, incentivando l’indagine e facendo osservare concretamente ciò che vogliamo studiare. In questo percorso le applet sono uno strumento fondamentale per articolare le discussioni, sia a distanza sia in presenza.
Padlet. Permette di creare una bacheca virtuale, dove gli studenti possono condividere più tipi di contenuto, come post, immagini e file audio; tutta la classe vede la bacheca aggiornata in tempo reale e ognuno può commentare i post dei compagni, pertanto può essere usato per condurre le discussioni a distanza.
Di seguito trovate l'indice per la navigazione nel sito, unitamente a una breve descrizione orientativa del contenuto.
Il tempo totale stimato per l'intero percorso è di circa 8-10 ore.
Pendenza - retta. L'obiettivo della pagina è lavorare sulle preconoscenze degli studenti, quindi consolidare il concetto di pendenza della retta e l'importanza dell'uso del rapporto. Pertanto, vengono proposti quesiti riferiti a situazioni reali in cui lo studente può identificarsi.
2. Pendenza grafico quadratica. Viene ripresa la definizione di retta tangente data per il caso della circonferenza e viene introdotto il problema dell’adattare la definizione nel caso della parabola. Viene definita, quindi, la retta tangente alla parabola in un punto e grazie a questo viene definito il concetto di "pendenza del grafico".
3. Pendenza e andamento funzione. Vengono trattate le proprietà di crescenza e decrescenza della funzione in relazione alla pendenza del grafico della funzione. Alla fine della pagina viene inserito un esempio di possibile verifica sulla prima parte del percorso.
4. Laboratorio scatola. Viene proposta un'attività laboratoriale realizzabile a distanza, relativa ad un problema di massimo. Questa attività permette di riassumere e consolidare i vari aspetti toccati, applicando in un contesto concreto quanto visto finora.
5. Pendenza grafico cubica. In questa sezione si vuole estendere il concetto di pendenza al caso delle funzioni cubiche, per lavorare su alcune importanti misconcezioni che non emergono dal solo caso delle funzioni quadratiche.
6. Funzione derivata. Lo scopo è passare dallo studio puntuale del concetto di pendenza all’introduzione della funzione derivata, come strumento che permette di studiare le proprietà della funzione e descriverne la pendenza del grafico in ogni punto.
Alla fine di ogni pagina sono stati inseriti esempi di attività che possono essere assegnati agli studenti come lavoro autonomo asincrono. Con il link copia è possibile copiarli nel proprio account Google Moduli.
Credits
La prima parte del percorso, fino alla pendenza del grafico di una funzione cubica, è stato tratto dalla tesi di laurea magistrale in Matematica di Carlotta Vielmo, nata dal tirocinio curricolare svolto presso il laboratorio DiCoMat in collaborazione con altre due tirocinanti, Chiara Bonadiman e Veronica Gasparin. Il resto del percorso nasce dal lavoro di tirocinio di Salvatore Corso e Chiara Bonadiman.
Supervisione di Elisabetta Ossanna e Stefano Pegoretti.