L'espressione analitica della derivata

Obiettivo. Riflettere sulle informazioni che è possibile ricavare dall'espressione analitica della funzione derivata

Consideriamo la funzione di espressione f(x) = 2x3 - 8 x2 + 5x. Vogliamo far emergere la necessità di creare uno strumento, la derivata, che possa darci informazioni utili per disegnare il grafico di f; per questo motivo, discutiamo con gli studenti le informazioni che possiamo dedurre guardando l'espressione analitica di f, come il comportamento all'infinito, sottolineando come questo tipo di valutazioni non sia efficacie al di là dei valori molto grandi e molto piccoli.
Domande guida:

  • Ci sono valori di x che annullano la funzione?

  • Consideriamo x pari a 10. Come varia il valore assunto dalla funzione se aumentiamo il valore di x?

  • Consideriamo x pari a -4. Come varia il valore assunto dalla funzione se diminuiamo il valore di x?

  • Sei in grado di descrivere l'andamento della funzione nell'intervallo da -4 a 10?

Ci può essere utile sapere l'espressione analitica della derivata?

Va lanciato un questionario su Desmos, copiabile dal seguente link , che contiene le domande qui sotto riportate.

  1. L'espressione analitica della derivata di una funzione f (ignota) è Df(x) = x2 - 16 ed è definita per tutti gli x reali.
    Secondo te quale delle seguenti informazioni sulla funzione     f potremmo ricavare? Selezionare tutte le opzioni valide.

□ Gli intervalli in cui f è positiva/negativa

□ Gli intervalli in cui f è crescente/decrescente

□ Le coordinate dei punti del grafico di f che sono "picchi" o "valli"

□ I valori del dominio in cui f è zero

2. Consideriamo Df(x) = x2 - 16. Completa la tabella, associando a ognuno dei valori del dominio riportati, quanto vale la derivata di f calcolata in quel valore.

Spiega poi, se possibile, quale informazioni ti dà conoscere questi valori.

3. Una tabella simile alla precedente è stata già compilata, scegliendo altri valori del dominio di una funzione g. In questo caso, però, non conosciamo l'espressione né della funzione g né della sua derivata Dg.
Commenta ogni riga della tabella, spiegando (se possibile) quali informazioni su g ci dà avere alcuni valori della funzione derivata. Non conosci l'espressione analitica.

La scatola: proseguimento con la funzione derivata

Il laboratorio della scatola aveva come obiettivo trovare il valore del taglio grazie al quale la scatola aveva volume massimo. Avevamo trovato il punto di massimo della funzione volume, lavorando a livello grafico, grazie ad un'applet che consente di trovare il punto in cui la retta tangente al grafico ha pendenza nulla.
Ora si può discutere con gli studenti la possibilità di ricavare la stessa conclusione, avendo a disposizione l'espressione analitica della derivata:

La funzione volume ha la seguente espressione analitica

V(x) = 4x3 - 9.6x2 + 5.6x

L'espressione analitica della derivata di V è

DV(x) = 12x2 - 19.2x + 5.6

Come faresti per ricavare la stessa conclusione, utilizzando la funzione derivata, mentre in precedenza avevi usato la pendenza della tangente?

Ricordiamo che x rappresenta il taglio (in decimetri) che ci permette di piegare le pareti della scatola, creando così la scatola di volume V(x). I tagli ammissibili non possono avere lunghezza minore di 0 e maggiore di 1, pertanto il dominio di V è l'intervallo (0,1). Analizziamo in questo dominio il comportamento della funzione derivata DV.

Siamo interessati a trovare il valore di x per il quale la funzione V ha un picco. Come avevamo visto, la pendenza del grafico deve quindi essere nulla. Poiché la derivata associa ad ogni x del dominio i valori della pendenza del grafico di V nei punti (x, V(x)), per trovare i punti in cui la pendenza è nulla, dovremo trovare i valori di x che annullano DV.
L'equazione

12x2 - 19.2x + 5.6 = 0

è soddisfatta per x pari a 4/5 - [√(13/3)]/5 e 4/5 + [√(13/3)]/5 di cui però solo il primo appartiene all'intervallo (0,1).
Per semplicità, indichiamo con x0 il valore 4/5 - [√(13/3)]/5.

Poiché DV si annulla per il valore x0, il grafico di V ha pendenza nulla nel punto (x0 , V(x0)). Tuttavia, non sappiamo se lì la funzione abbia un picco, una valle o nessuno dei due, come abbiamo visto nel caso del grafico di una funzione cubica. Se la funzione V è crescente avvicinandoci da sinistra al valore x0 ed è decrescente avvicinandoci da destra al valore x0, allora possiamo concludere che che ha un picco in quel valore.

Se la funzione V è crescente avvicinandoci da sinistra al valore x0, allora la pendenza del grafico è positiva in quei valori e viceversa. Analogamente, se V è decrescente avvicinandoci da destra al valore x0, allora la pendenza del grafico è negativa in quei valori e viceversa.
Pertanto, verifichiamo se la funzione derivata è positiva avvicinandoci da sinistra al valore x0 e negativa avvicinandoci da destra al valore x0. Da

12x2 - 19.2x + 5.6 > 0

ricaviamo che

  • per x compreso fra 0 e x0 la funzione DV è positiva, quindi la funzione V è crescente;

  • per x compreso fra x0 e 1 la funzione DV è negativa, quindi la funzione V è decrescente.

Nel punto (x0, V(x0)) la funzione V ha un picco. Quindi il taglio con cui si ottiene il volume massimo è 4/5 - [√(13/3)]/5 (≈ 0.384 dm) e il volume ottenuto è V(x0) ≈ 0,961 dm.