Introduzione alla funzione derivata

Obiettivi. Dopo aver consolidato la trattazione puntuale della derivata, lavoriamo sull'intervallo per arrivare infine a introdurre la derivata come funzione.

Facendo riferimento alla seguente applet, assegniamo il questionario (visualizza - copia), le cui domande sono riportate qui sotto. Discutiamo poi le risposte con gli studenti.
Si vogliono consolidare i ragionamenti puntuali sul concetto di pendenza.

Assegniamo due attività analoghe alla precedente, lavorando però su intervalli del dominio.

Primo questionario: visualizza - copia
Secondo questionario: visualizza - copia

Ispirandoti ai questionari precedenti, individua punti e/o intervalli a tuo piacere con i requisiti di seguito indicati.

  • Indica una ascissa x (a tua scelta) tale che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x, f(x)) sia ZERO.

  • Indica una ascissa x (a tua scelta) tale che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x, f(x)) sia POSITIVA.

  • Indica una ascissa x (a tua scelta) tale che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x, f(x)) sia NEGATIVA.

  • Indica un intervallo a tuo piacere tale che, per ogni valore x in esso, la pendenza del grafico di f in x sia positiva.

  • Indica un intervallo a tuo piacere tale che, per ogni valore x in esso, la pendenza del grafico di f in x sia negativa.

Possiamo dunque introdurre una nuova funzione definita dalla relazione:

x ↦ pendenza della retta tangente al grafico in (x, f(x))

Questa funzione è detta Derivata di f e associa ad ogni valore x del dominio della funzione f la pendenza della retta tangente nel punto del grafico di coordinate (x, f(x))

Riprendendo quanto abbiamo detto sulla relazione che esiste tra la pendenza della retta tangente al grafico di una funzione e la funzione stessa, notiamo che:

  • se la derivata di f in x è positiva per ogni x appartenente a un intervallo I, allora la funzione f è crescente nell'intervallo I;

  • se la funzione f è crescente nell'intervallo I, allora la derivata di f in x è positiva per ogni x appartenente a un intervallo I;

  • se la derivata di f in x è negativa per ogni x appartenente a un intervallo I, allora la funzione f è decrescente nell'intervallo I;

  • se la funzione f è decrescente nell'intervallo I, allora la derivata di f in x è negativa per ogni x appartenente a un intervallo I.

La funzione derivata

Dopo aver discusso, riportiamo agli studenti l'immagine qui a lato, in cui sono raffigurati un tratto del grafico di f e alcuni punti del grafico della derivata. Poniamo quindi le seguenti domande, che permettono di riassumere quanto visto finora e possono essere affrontate correttamente solo se lo studente ha interiorizzato gli aspetti visti del concetto di derivata:

  • Perché i punti blu appartengono al grafico della derivata? Per ogni punto blu, cosa rappresentano l'ascissa e l'ordinata?

  • Partendo dal grafico, prova a completare in modo approssimativo il grafico della derivata.

Che previsioni possiamo fare sui valori della funzione derivata (i valori della nostra nuova funzione) in relazione all'intervallo del dominio in cui ci poniamo?

Abbiamo visto che:

  • quando ci poniamo in un intervallo in cui la funzione f è crescente (il grafico sta "salendo"), la derivata in quell'intervallo è positiva;

  • quando ci poniamo in un intervallo in cui la funzione f è decrescente (il grafico sta "scendendo"), la derivata in quell'intervallo è negativa;

  • quando osserviamo un punto di massimo o di minimo della funzione f (il grafico ha un punto "di picco" o un punto "di valle"), la derivata in quel punto è pari a 0.

Possibili attività da assegnare per casa

Le attività sono presentate sotto forma di questionario creato con Google Moduli.
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Nella seconda attività proposta lo studente deve tracciare il grafico di una funzione a sua scelta, che rispetti i vincoli riportati nel quesito. E' possibile estendere questa attività nel seguente modo. Si assegna a ogni studente il grafico disegnato da un compagno, oscurandone il nome. Si chiede di descrivere/commentare il grafico assegnato, facendo riferimento ai vincoli imposti nella consegna, cercando di essere il più preciso possibile (utilizzando, quindi, intervalli del dominio, valori dell'ascissa o coordinate di punti). Si assegna poi il seguente questionario.
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