L'andamento di una funzione e il legame con la pendenza del grafico
Obiettivi
Introdurre il legame fra la pendenza e il concetto di funzione crescente e decrescente
Materiale utilizzato
Geogebra
Tempo dedicato: 1 ora
Nella seguente applet (https://www.geogebra.org/m/fjugkkct) troviamo il grafico di 𝑓(𝑥)= (1/3)𝑥2 e la retta tangente al grafico nel punto verde (𝑥, 𝑓(𝑥)). Per modificare l'ascissa del punto verde cliccare i due pulsanti con le frecce.
Domande guida per la discussione:
Come varia il segno della pendenza del grafico, modificando l'ascissa del punto verde?
La pendenza del grafico è negativa quando x appartiene all'intervallo [-8, 0).
La pendenza, invece, è positiva quando x appartiene all'intervallo (0, 8].
Quando x vale 0, la pendenza del grafico è nulla.
Consideriamo gli intervalli [-8, 0) e (0, 8] nell'asse delle ascisse, che caratteristica/proprietà ha la funzione 𝑓 in questi intervalli?
Notiamo che, se percorriamo il grafico dal punto di ascissa -8 a quello di ascissa 0, "stiamo scendendo", i valori della funzione stanno diminuendo; se lo percorriamo dal punto di ascissa 0 a quello di ascissa 8, invece, "stiamo salendo", i valori della funzione stanno aumentando.
Per la discussione, dopo le prime congetture, può aiutare visualizzare la pendenza della tangente e il valore della funzione. Scrivendo nella barra di inserimento P=True compare la pendenza della retta tangente al grafico nel punto verde. Scrivendo, invece, F=True compare il valore della funzione f calcolata nella x corrispondente.
Uniamo le varie osservazioni, per notare che:
La pendenza del grafico nel punto (3, f(3)) è positiva e questo punto appartiene a un intervallo dove la funzione sta crescendo.
La pendenza del grafico nel punto (0, f(0)) è nulla. Notiamo che il grafico in questo punto ha una "valle" (prima "scende", poi "sale") - la funzione a sinistra di 0 decresce e a destra di 0 cresce.
La pendenza del grafico nel punto (-6, f(-6)) è negativa e questo punto appartiene a un intervallo in cui la funzione sta decrescendo.
Le parabole con concavità verso il basso
Un ragionamento analogo può essere fatto per il grafico della funzione g(x)=-x2+6x+1 e le applet sono presenti nel sito per lo studente. In questo caso la funzione ha un massimo e il punto con tale ordinata sarà chiamato "picco".
In generale
Per una funzione il cui grafico è una parabola possiamo quindi intuire che:
dove la pendenza del grafico è positiva, la funzione cresce
dove la pendenza del grafico è nulla, si ha un "picco" o una "valle" (vedi figura)
dove la pendenza del grafico è negativa, la funzione decresce
Possibili attività da assegnare per casa
Le attività sono presentate sotto forma di questionario creato con Google Moduli.
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