Costruzione della retta tangente alla parabola in un punto

Obiettivo. Applicare l'usuale definizione di tangenza al caso della parabola e osservare che non rispetta la caratterizzazione di tangenza come retta che approssima l’andamento della curva attorno al punto considerato; costruire quindi il nuovo modello per la parabola

Ripercorriamo quanto fatto per la circonferenza, ma con una parabola. Usiamo la seguente applet, analoga alla precedente. Possiamo cambiare inclinazione della retta usando lo slider o i due pulsanti gialli per maggiore precisione.

Discutiamo con gli studenti se esistono rette che soddisfano la definizione di tangente data per la circonferenza, ma che non soddisfano la caratterizzazione di tangente che ci interessa. Come prima, possiamo aumentare m e chiedere cosa accade. Facciamo infine comparire la retta perpendicolare, cliccando sulla casella di controllo corrispondente, riflettendo sul fatto che non è tangente, ma soddisfa la definizione.

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Quando arriviamo in posizione secante, continuando a inclinare la retta, ad un certo punto il secondo punto di intersezione uscirà dal tratto di curva visibile nella schermata. Gli studenti potrebbero pensare che non ci sia un secondo punto di intersezione nel momento in cui la retta assume un pendenza molto grande. Poiché sarebbe sconveniente e complicato rimpicciolire l’immagine, per mostrare che esiste anche un secondo punto di intersezione in questi casi, abbiamo inserito anche i pulsanti “apri zoom” e “chiudi zoom”, che ci permettono di seguire il secondo punto.

Il nuovo modello di retta tangente

Lavoriamo sulla circonferenza, di cui sappiamo identificare le tangenti, mostrando che la pendenza della secante approssima quella della tangente, man mano che portiamo la secante in posizione tangente. Riproponiamo poi le stesse applet, ma per la parabola, stimando così la pendenza della retta che definiremo tangente.

In questa applet (https://www.geogebra.org/m/ketvmqcs) trovate una circonferenza, la retta t (blu) tangente in Q e la retta secante s (verde) passante per Q e un secondo punto P, appartenente alla circonferenza. In alto a destra trovate le rispettive pendenze.
Muoviamo P vicino a Q da destra e chiediamo agli studenti come si comporta la pendenza della retta s rispetto a quella della retta t. Ripetiamo da sinistra. Facciamo emergere come la pendenza di s approssimi quella di t.

Proviamo a fare lo stesso ragionamento per una parabola.

Nell'applet seguente (https://www.geogebra.org/m/zwzucmrx) trovate il grafico della funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2. Vogliamo definire la retta tangente alla parabola nel punto Q di coordinate (3, 𝑓(3)). Come prima, consideriamo una retta secante sQP passante per Q e per un qualsiasi punto P appartenente alla parabola. In questo caso, per muovere il punto P utilizziamo lo slider h.

Domande guida per la discussione:

  • Muovendo lo slider h, cosa succede alla retta sQP? E alla sua pendenza?

  • Come varia la pendenza al variare della posizione del punto P?

Muovendo lo slider h verso valori maggiori (cliccando il pulsante con la freccia verso destra) la pendenza della retta sQP aumenta; muovendolo verso valori minori (cliccando il pulsante con la freccia verso sinistra), invece, la pendenza diminuisce.

Quando i punti Q e P coincidono (h=0), la retta secante sQP scompare, per quanto abbiamo visto prima.

Possiamo notare che avvicinando P a Q (senza raggiungerlo) sia da destra che da sinistra, la pendenza della retta secante sQP si sta avvicinando a un valore (2). Nel caso della circonferenza abbiamo visto che la pendenza della retta tangente t era proprio il numero al quale si avvicinava la pendenza della secante s spostando P verso Q, sia da destra che da sinistra. Anche in questo caso, possiamo intuire che il numero al quale si avvicina la pendenza di sQP è la pendenza della retta tangente.

  • Come possiamo descrivere le coordinate del punto P (rispetto al punto Q)?

Possiamo descrivere il punto P considerando il valore h. Muovendo lo slider h, notiamo che l'ascissa del punto P varia: in particolare, il secondo addendo di questa varia di una quantità uguale a h. Quindi, è conveniente indicare l'ascissa del punto P come 𝑥P = 𝑥Q+h, cioè 𝑥P = 3+h . Di conseguenza, yP=𝑓(xP)=𝑓(3+h).

Descriviamo il punto P con le coordinate (3+h, 𝑓(3+h)).

Esplicitiamo la pendenza della retta sQP.

pendenza_QP

Nel nostro caso 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2:

conto_pres_ok

Domanda guida che permette di avere l'idea di limite:

  • Come possiamo dire, usando le coordinate dei due punti, che P si sta avvicinando a Q?

Quando P si avvicina a Q, sia da destra che da sinistra, il valore di h si avvicina sempre più a 0.

Quindi, per ottenere la pendenza della retta tangente in Q, dobbiamo considerare la pendenza di sQP con h che si avvicina a 0.

Quindi, possiamo definire la retta tangente alla parabola nel punto Q di coordinate (3, 𝑓(3)) come la retta che ha pendenza uguale a 2. Conoscendo ora m, ricaviamo poi il valore dell'intercetta imponendo il passaggio per Q.

Rivediamo brevemente come possiamo definire la retta tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 nel punto Q = (3, f(3)).

  1. Abbiamo considerato un secondo punto sulla parabola (grafico di 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2), che abbiamo chiamato P.

  2. Abbiamo descritto le coordinate del punto P tenendo conto della sua distanza sulle ascisse dal punto Q, usando la variabile h:

P = (3+h, f(3+h))

  1. Abbiamo calcolato la pendenza della retta passante per i punti Q e P (questa retta è quindi in posizione secante la parabola):

m = 2 + (1/3)h

  1. Abbiamo avvicinato il punto P sempre più al punto Q, ispirandoci alle osservazioni sulla circonferenza: la pendenza della retta secante si avvicinava sempre più alla pendenza della retta tangente man mano che avvicinavamo i due punti.
    Avvicinare P a Q significa avvicinare sempre più h al valore 0. Allora la pendenza della retta diventa:

m = 2

Considerata la funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 , il cui grafico è una parabola, possiamo definire la retta tangente alla parabola nel punto Q = (3, f(3)) come la retta che ha pendenza pari a m, cioè il numero al quale si sta avvicinando la pendenza della retta secante in P e Q quando il punto P si avvicina a Q.

Per concludere, abbiamo trovato l'equazione della retta tangente che abbiamo definito, determinando q:

y = 2x - 3

Possibili attività da assegnare per casa

Le attività sono presentate sotto forma di questionario creato con Google Moduli.
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In aggiunta, è stato preparato un questionario con esempi di esercizi per potenziare il concetto di funzione.
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