2.3 Distribuciones derivadas de la normal.
Introducción
Recordando los axiomas de probabilidad, podemos citar el siguiente hecho de que una función de probabilidad, debe satisfacer
1.- Que la función sea positiva; f(x)>0
2.- Que la integral de dicha función, sobre los números reales sea 1 (caso continuo), o bien la suma de las probabilidades sobre todo el espacio maestral en estudio, sea 1. (caso discreto).
Ejemplo
En el lanzamiento de una moneda, tenemos un espacio muestral U={S,A}. Con probabilidades ; P(S)=P(A)=1/2, que cumplen con el axioma 1.
Para el axioma 2, tenemos que: P(U)=P(S)+P(A) =1.
De forma analoga ocurre para el lanzamiento de dos monedas, cuyo espacio muestral es:
U={SS,SA,AS,AA}
con
P(SS)=P(AS)=P(SA)=P(AA)=1/4,
Y
P(U)= P(SS)+P(AS)+P(SA)+P(AA)=1
Definición
Por otra parte la función de distribución acumulada es
Definición
Sea p la probabilidad de que un evento acurra en una sola prueba de Bernoulli, llamada probabilidad de éxito. La probabilidad de que no ocurra el evento p es 1-p, o bien q=1-p la probabilidad de fracaso. La probabilidad que ocurra x veces el evento en n pruebas, está dado por
donde la variable aleatoria X denota el número de éxitos en n pruebas y x : 0, 1, . . . ,n .
En R:
dbinom(x,size=n,prob=p,log=FALSE)
Ejemplo
En seis lanzamientos de una moneda obtener, hallar la probabilidad de obtener dos águilas.
Solución
n=6, p=1/2, q=1-p=1/2, si X denota el número de veces que sale águila, entonces para x=2, tenemos que
En R;
dbinom(2,6,0.5)
[1] 0.234375
Ejemplo
En seis lanzamientos de una moneda hallar la probabilidad de obtener como máximo dos águilas.
Solución
Tomando a X como el evento de obtener águilas en seis lanzamientos de una moneda, la probabilidad de obtener como máximo dos águilas se traduce en; la probabilidad de obtener cero águilas P(X=0), una águila P(X=1)y dos águilas P(X=2). Por tanto la probabilidad de obtener como máximo dos águilas es
donde
En R;
sum(dbinom(0:2,6,0.5))
[1] 0.34375
La distribución normal de probabilidad
Definición
La función de probabilidad normal esta dada por;
Para una variable aleatoria normal estándar
o con
Tenemos que
y por tanto se cumple el axioma 2.
Nota
Para la función anterior, la expresión P(X<x), es la integral
y representa el área bajo la curva normal, en el intervalo
Ejemplo:
Calcule el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de: z=1.33
Solución:
Se debe calcular la integral
Pero como no existen métodos analíticos para encontrar esta integral en el sentido de Riemann, usamos R para calcular la integral numéricamente.
pnorm(1.33)
[1] 0.9082409
Ejemplo:
Calcule el área bajo la curva normal estándar a la derecha de: z=1.33
Solución:
Se debe calcular la integral
De igual forma, como no existen métodos analíticos para encontrar esta integral en el sentido de Riemann, usamos R para calcular la integral numéricamente.
> 1-pnorm(1.33)
[1] 0.09175914
Nota
Como nos damos cuenta, el último ejemplo es la probabilidad del complemento del primer ejemplo. Esto es, la suma de ambas probabilidades debe ser 1.
> pnorm(1.33) +1-pnorm(1.33)
[1] 1
Esto sucede, porque R calcula el área bajo la curva desde menos infinito, hasta el numero que usamos como argumento, en este caso el número que usamos como argumento fue el 1.33.
Ejemplo
Encuentre la probabilidad para la variable aleatoria normal estándar z: P(0.5<Z<1.33)
Solución
En este caso debemos calcular la integral
Nuevamente, bajo el mismo argumento usaremos R para aproximar esta integral. Como R, solo calcula el área bajo la curva, a la izquierda de cierto argumento, necesitamos calcular el área más grande, o sea, el área P(Z<1.33). Y despúes debemos quitarle el área más pequeña P(Z<0.5). Como se ilustra en la siguiente Figura.
No nos interesa el área a la izquierda, con las lineas horizontales en negro. Tampoco nos interesa el área en blanco, que esta a la derecha de 1.33. El área de interés en este ejemplo, es el área café, que esta entre el valor 0.5 y 1.33. En R lo podemos calcular de la siguiente manera:
> pnorm(1.33)-pnorm(0.5)
[1] 0.2167784