Introducción

Recordando los axiomas de probabilidad, podemos citar el siguiente hecho de que una función de probabilidad, debe satisfacer

1.- Que la función sea positiva;    f(x)>0

2.- Que la integral de dicha función, sobre los números reales sea 1 (caso continuo), o bien la suma de las probabilidades sobre todo el espacio maestral en estudio, sea 1. (caso discreto).

Ejemplo

En el lanzamiento de una moneda, tenemos un espacio muestral U={S,A}. Con probabilidades ;  P(S)=P(A)=1/2, que cumplen con el axioma 1. 

Para el axioma 2, tenemos que:  P(U)=P(S)+P(A) =1.

De forma analoga ocurre para el lanzamiento de dos monedas, cuyo espacio muestral es:

U={SS,SA,AS,AA}

con

P(SS)=P(AS)=P(SA)=P(AA)=1/4,

Y

P(U)= P(SS)+P(AS)+P(SA)+P(AA)=1

Definición

Por otra parte la función de distribución acumulada es

Definición

Sea p la probabilidad de que un evento acurra en una sola prueba de Bernoulli, llamada probabilidad de éxito.   La probabilidad  de que no ocurra el evento p es 1-p, o bien q=1-p la probabilidad de fracaso.  La probabilidad que  ocurra x veces el evento en n pruebas, está dado por

donde la variable aleatoria X denota el número de éxitos en n pruebas y x : 0, 1, . . . ,n .

En R:

dbinom(x,size=n,prob=p,log=FALSE)

Ejemplo

En seis lanzamientos de una moneda, hallar la probabilidad de obtener dos águilas.

Solución

n=6, p=1/2, q=1-p=1/2, si X denota el número de veces que sale águila, entonces para x=2, tenemos que

En R;

dbinom(2,6,0.5)

[1] 0.234375

Ejemplo

En seis lanzamientos de una moneda hallar la probabilidad de obtener como máximo dos águilas.

Solución

Tomando a X como el evento de obtener águilas en seis lanzamientos de una moneda, la probabilidad de obtener como máximo dos águilas se traduce en; la probabilidad de obtener cero águilas P(X=0), una águila P(X=1)y dos águilas P(X=2).  Por tanto  la probabilidad de obtener como máximo dos águilas es

donde

En R;

sum(dbinom(0:2,6,0.5))

[1] 0.34375

La distribución normal de probabilidad

Definición

La función de probabilidad normal esta dada por;

Para una variable aleatoria normal estándar

o con 

Tenemos que 

y por tanto se cumple el axioma 2.

Nota

Para la función anterior, la expresión P(X<x), es la integral

y representa el área bajo la curva normal, en el intervalo 

Ejemplo:

Calcule el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de:  z=1.33

Solución:

Se debe calcular la integral

Pero como no existen métodos analíticos para encontrar esta integral en el sentido de Riemann, usamos R para calcular la integral numéricamente. 

pnorm(1.33)

[1] 0.9082409

Ejemplo:

Calcule el área bajo la curva normal estándar a la derecha de:  z=1.33

Solución:

Se debe calcular la integral

De igual forma, como no existen métodos analíticos para encontrar esta integral en el sentido de Riemann, usamos R para calcular la integral numéricamente. 

> 1-pnorm(1.33)

[1] 0.09175914

Nota

Como nos damos cuenta, el último ejemplo es la probabilidad del complemento del primer ejemplo. Esto es, la suma de ambas probabilidades debe ser 1. 

> pnorm(1.33) +1-pnorm(1.33)

[1] 1

Esto sucede, porque R calcula el área bajo la curva desde menos infinito, hasta el numero que usamos como argumento, en este caso el número que usamos como argumento fue el 1.33. 

Ejemplo

Encuentre la  probabilidad para la variable aleatoria normal estándar z: P(0.5<Z<1.33)

Solución

En este caso debemos calcular la integral

Nuevamente, bajo el mismo argumento usaremos R para aproximar esta integral. Como R, solo calcula el área bajo la curva, a la izquierda de cierto argumento, necesitamos calcular el área más grande, o sea, el área P(Z<1.33). Y despúes debemos quitarle el área más pequeña P(Z<0.5). Como se ilustra en la siguiente Figura.

No nos interesa el área a la izquierda, con las lineas horizontales en negro. Tampoco nos interesa el área en blanco, que esta a la derecha de 1.33. El área de interés en este ejemplo, es el área café, que esta entre el valor 0.5 y 1.33. En R lo podemos calcular de la siguiente manera: 

> pnorm(1.33)-pnorm(0.5)

[1] 0.2167784