2.1 Conceptos básicos de probabilidad.
Conjuntos
Definición
Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos, llamados míembros o elementos del conjunto.
Nota
Generalmente, denotaremos un conjunto por una letra mayúscula A, B, C,D,... y un elemento por una letra minúscula a,b,c,d,...
Ejemplo
El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse como: { a, e, i, o,,..} o por
{r| r es una vocal},
que se lee "el conjunto de los elementos tales que r es una vocal" donde la línea vertical | se lee "tal que" o "dado que".
Definición
Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjunto de B, escrito
y leído "B contiene a A" respectivamente. Se sigue que para todo conjunto A, tenemos que A "contiene a" A.
Definición
Si
llamamos a A y B iguales y escribimos A=B. En este caso A y B tienen exactamente los mismos elementos.
Si A no es igual a B, es decir si A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos
Nota
El conjunto universo o espacio universal, es el conjunto de todos elementos en nuestro estudio y lo denotamos con la letra U.
"El conjunto de todos los eventos sencillos (que veremos más adelante) se denomina espacio muestral."
Al conjunto que no tiene elementos se conoce como conjunto vacio y lo denotamos por
Como ya sabemos, los datos se obtienen al observar ciertos fenómenos ya sea eventos no controlados en la naturaleza o situaciones controladas en un laboratorio. Por ejemplo, en ciencias sociales la población de personas en una comunidad, no es controlada como se podría hacer en un laboratorio con microorganismos o dispositivos electrónicos en condiciones controladas, entre otros experimentos. Usamos el término experimento para describir cualquiera de los dos métodos de recolección de datos.
Definición
Un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observación (o medición).
Definición
Un evento sencillo es el resultado que se observa en una sola repetición del experimento.
Un evento es un conjunto de eventos sencillos.
Definición
Dos eventos son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre un evento,
los otros no pueden ocurrir y viceversa.
Ejemplo
Un técnico médico registra el tipo sanguíneo y factor Rh de una persona. Haga una lista de los eventos sencillos del experimento.
Solución
Por cada persona, se hace necesario un procedimiento de dos etapas para
registrar las dos variables de interés. Los ocho eventos sencillos del espacio muestral, son {A +, A- , B+ , B- , AB+ , AB- , O+ , O- }.
La probabilidad de un evento A es una medida de nuestra creencia de que el evento A ocurrirá. Una manera práctica de interpretar esta medida es con el concepto de frecuencia relativa.
En ésta, la frecuencia relativa del evento A se define como la probabilidad del evento A; esto es, P(A)=fecuencia/n se comporta como una frecuencia relativa, P(A) debe ser una proporción que se encuentre entre 0 y 1; P(A)=0 si el evento A nunca ocurre, y P(A)=1 si el evento A siempre ocurre. Cuanto más cercano sea P(A) a 1, es más probable que A ocurra. De igual forma si P(A) es cercano al valor 0, es difícil (poco probable) que el evento A ocurra.
Definición
La probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades
de los eventos sencillos contenidos en A.
Los requisitos para probabilidades de un evento simple
• Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.
• La suma de las probabilidades de todos los eventos sencillos en U es igual a 1.
Ejemplo
Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de todos los de raza caucásica en Estados Unidos se publican como .41, .10, .04 y .45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de este origen étnico en la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?
Solución
Los cuatro eventos sencillos, A, B, AB y O no tienen probabilidades igualmente posibles. Sus probabilidades se encuentran usando el concepto de frecuencia relativa como
P(A) = .41, P(B)= .10, P(AB)=.04, P(O)=.45
El evento de interés está formado por dos eventos sencillos, de modo que
P(la persona es tipo A o tipo AB)= P(A)+P(AB)=.41 +.04= .45
REGLAS DE PROBABILIDAD
Definición
La unión de los eventos A y B, denotada por
es el evento en que ocurren A o B o ambos.
Definición
La intersección de eventos A y B, denotada por
,
es el evento en que ocurren A y B.
Definición
El complemento de un evento A, denotado por
es el evento en que A no ocurre.
Definición
Cálculos de probabilidad
1.-Para la unión
2.-Para el complemento
Nota
Cuando dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes, entonces
y la Regla de la adición se simplifica a
Ejemplo
Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de todos los de raza caucásica en Estados Unidos se publican como .41, .10, .04 y .45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de este origen étnico en la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?, esto es; calcular la probabilidad
además calcular
Definición
Se dice que dos eventos, A y B, son independientes si y sólo si la probabilidad del evento B no está influenciada o cambiada por el suceso del evento A, o viceversa.
Definición
Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran A y B es
Definición
La probabilidad condicional del evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es
si
Ejemplo
Tira al aire dos monedas y observa el resultado. Definamos estos eventos como:
A: sol en la primera moneda
B: águila en la segunda moneda
¿Los eventos A y B son independientes?
Solución
El espacio muestral es U={SS,SA,AS,AA}
P(A)=P(Sol en la primera moneda)
=P({SS} o {SA})
=P({SS})+P({SA})
=1/4 +1/4
=1/2
P(B)=P(Águila en la segunda moneda)
=P({SA} o {AA})
=P({SA})+P({AA})
=1/4 + 1/4
=1/2
P(A y B)=P(Sol en la primera y Águila en la segunda)
=P({SA})
=1/4
Por lo que
P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4
P(A y B)=1/4
Por lo tanto el evento A y B son independientes.
