2.1 Conceptos básicos de probabilidad.

Conjuntos

Definición

Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos, llamados míembros o elementos del conjunto.

Nota

Generalmente, denotaremos un conjunto por una letra mayúscula A, B, C,D,... y un elemento por una letra minúscula a,b,c,d,...

Ejemplo

El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse como: { a, e, i, o,,..} o por

 {r| r es una vocal},

que se lee "el conjunto de los elementos tales que  r es una vocal" donde la línea vertical | se lee "tal que" o "dado que".

Definición

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjunto de B, escrito

y leído "B contiene a A" respectivamente. Se sigue que para todo conjunto A,  tenemos  que A "contiene a" A.

Definición

Si

 llamamos a A y B iguales y escribimos A=B. En este caso  A y B tienen exactamente los mismos elementos.

Si A no es igual a B, es decir si A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos

Nota

El conjunto universo  o espacio universal, es el conjunto de todos elementos en nuestro estudio y lo denotamos con la letra U.

"El conjunto de todos los eventos sencillos (que veremos más adelante) se denomina espacio muestral."

Al conjunto que no tiene elementos se conoce como conjunto vacio y lo denotamos por 

Como ya sabemos, los  datos se obtienen al observar ciertos fenómenos ya sea eventos no controlados en la naturaleza o situaciones  controladas en un laboratorio. Por ejemplo, en ciencias sociales la población de personas en una comunidad, no es controlada como se podría hacer en un laboratorio con microorganismos o dispositivos electrónicos en condiciones controladas, entre otros experimentos. Usamos el término experimento para describir cualquiera de los dos métodos de recolección de datos.

Definición

Un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observación (o medición).

Definición

Un evento sencillo es el resultado que se observa en una sola repetición del experimento.

Un evento es un conjunto de eventos sencillos.

Definición

Dos eventos son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre un evento,

los otros no pueden ocurrir y viceversa.

Ejemplo

Un técnico médico registra el tipo sanguíneo y factor Rh de una persona. Haga una lista de los eventos sencillos del experimento.

Solución

Por cada persona, se hace necesario un procedimiento de dos etapas para

registrar las dos variables de interés. Los ocho eventos sencillos del espacio muestral, son {A +, A- , B+ , B- , AB+ , AB- , O+ , O- }.

La probabilidad de un evento A es una medida de nuestra creencia de que el evento A ocurrirá. Una manera práctica de interpretar esta medida es con el concepto de frecuencia relativa.

En ésta, la frecuencia relativa del evento A se define como la probabilidad del evento A; esto es, P(A)=fecuencia/n se comporta como una frecuencia relativa, P(A) debe ser una proporción que se encuentre entre 0 y 1; P(A)=0 si el evento A nunca ocurre, y P(A)=1 si el evento A siempre ocurre. Cuanto más cercano sea P(A) a 1, es más probable que A ocurra. De igual forma si P(A) es cercano al valor 0, es difícil (poco probable) que el evento A ocurra.

Definición

La probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades

de los eventos sencillos contenidos en A.

Los requisitos para probabilidades de un evento simple

• Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.

• La suma de las probabilidades de todos los eventos sencillos en U es igual a 1.

Ejemplo

Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de todos los de raza caucásica en Estados Unidos se publican como .41, .10, .04 y .45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de este origen étnico en la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?

Solución

Los cuatro eventos sencillos, A, B, AB y O no tienen probabilidades igualmente posibles. Sus probabilidades se encuentran usando el concepto de frecuencia relativa como

P(A) = .41,  P(B)= .10,  P(AB)=.04, P(O)=.45

El evento de interés está formado por dos eventos sencillos, de modo que

 P(la persona es tipo A o tipo AB)=  P(A)+P(AB)=.41 +.04=  .45

REGLAS DE PROBABILIDAD

Definición

La unión de los eventos A y B, denotada por

es el evento en que  ocurren A o B o ambos.

Definición

La intersección de eventos A y B, denotada por

,

 es el evento en  que ocurren A y B.

Definición

El complemento de un evento A, denotado por

 es el evento en que A no ocurre.

Definición

Cálculos de probabilidad

1.-Para la unión

2.-Para el complemento

Nota

Cuando dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes, entonces

y la Regla de la adición se simplifica a

Ejemplo

Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de todos los de raza caucásica en Estados Unidos se publican como .41, .10, .04 y .45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de este origen étnico en la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?, esto es; calcular la probabilidad

además calcular

Definición

Se dice que dos eventos, A y B, son independientes si y sólo si la probabilidad del evento B no está influenciada o cambiada por el suceso del evento A, o viceversa.

Definición

Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran A y B es

Definición

La probabilidad condicional del evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es

si

Ejemplo

Tira al aire dos monedas y observa el resultado. Definamos estos eventos como:

A: sol en la primera moneda

B: águila en la segunda moneda

¿Los eventos A y B son independientes?

Solución

El espacio muestral es U={SS,SA,AS,AA}

P(A)=P(Sol en la primera moneda)

      =P({SS} o {SA})

      =P({SS})+P({SA})

      =1/4 +1/4

      =1/2

P(B)=P(Águila en la segunda moneda)

      =P({SA} o {AA})

      =P({SA})+P({AA})

      =1/4  +  1/4

      =1/2

P(A y B)=P(Sol en la primera y Águila en la segunda)

      =P({SA})

      =1/4

Por lo que

P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4

P(A y B)=1/4

Por lo tanto el evento A y B son independientes.