Projet 6

NB: Les algorithmes pourront être mis en oeuvre sous Matlab ou sous R selon votre préférance.

Etude stratifiée de la réaction à une drogue modèle hiérarchique

Les données pour cette étude sont disponibles dans le fichier “hw5_data.csv”. Cinq sujets ont été étudiés selon le protocole suivant: on leur a donné à chacun un médicament avec une dose différente pour chacun. On a ensuite

mesure la concentration de ce médicament dans leur plasma concentrations à huit instants successifs après l'administration du médicament. Les trois colonnes du fichier contiennent les variables suivantes: identité du sujet,

temps écoulé depuis l'ingestion et log-concentration dans le plasma.

Il suffit d'afficher sur un même graphe les données pour chaque patient avec en abscisse le temps écoulé et en ordonnée la log-concentration pour se rendre compte que la décroissance est linéaire et suit la même pente pour tous les patients mais que l'ordonnée à l'origine est différente d'un patient à l'autre. C'est pourquoi on utilisera le modèle:

y_ij = α_i + βx_ij +z_ij

où y_ij et x_ij sont respectivement la log-concentration et le temps écoulé pour la j-ème mesure sur le i-ème patient.

Les z_ij seront supposés modéliser l'erreur de mesure et seront considérés independants et de loi N (0, σ² ).

On va supposer des loi a prioir assez permissives sur β et σ², plus précisément β ∼ N (0, 106 ) et σ² ∼ IG(.001, .001) où IG est loi loi Gamma Inverse.

On va d'autre part utiliser un modèle hierarchique pour les ordonnées à l'origine en supposant une loi a priori sur α₁ , . . . , α₅ , de telle sorte que, conditionellement à (α, σ_α²), α₁ , . . . , α₅ sont independant N(α, σ_α²). On prendra comme a priori sur (α, σ_α²), α∼ N (0, 106 ) et σ_α² ∼ IG(.001, .001). On supposera de plus que α, β, σ_α² , and σ² sont conjointement independants.

1. Ecrire une chaine de Metropolis-Hastings pour estimer les paramètres.

2. Afficher les trajectoires de la chaine de Markov correspondant a vos simulations pour chaque parametre.

3. Afficher la fonction d'autocorrélation sur une fenêtre glissante pour chaque paramètre. Commenter.

4. Afficher un histogramme pour les lois marginales a posteriori des coefficients de régression.

5. Peut-on dire que la trajectoire d'une des ordonnées à l'origine suit un modèle de type AR(p) ? On fera un test approprié.

6. Peut-on estimer les mêmes paramètres que lors de l'étude précédente par maximum de vraisemblance ? Expliquer.

Ce projet est inspiré du homework 5 pour le cours ORIE 678 - BAYESIAN STATISTICS AND DATA ANALYSIS donné par David Ruppert à l'université de Cornell.

Processus de Galton Watson

On considère le processus de Galton et Watson vu en cours et décrit ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_de_Galton-Watson

Simuler ce processus pour diverses valeurs de paramètre de facon a mettre en lumière les divers phénomènes qui peuvent apparaitre. Peut-on imaginer qu'il soit possible d'estimer le paramètre par maximum de vraisemblance si l'on dispose de données réelles ?