Ecuaciones de dimensiones

Solo tiene sentido sumar o restar cantidades que posean las mismas dimensiones. Por ejemplo, no se pueden sumar una longitud y un tiempo.

Para que la ecuación: A = B + C, tenga sentido, A, B y C deben tener las mismas dimensiones. Pero es difícil, a simple vista, reconocer esto. Para averiguarlo escribiremos la ecuación de dimensiones de cada una de las cantidades (A, B y C), que expresa las dimensiones de cada una de ellas en función de las dimensiones fundamentales.

 Cuando escribimos una ecuación física en función de sus magnitudes, estamos escribiendo su ecuación de dimensiones.

A la vista de una ecuación de dimensiones podemos saber si la ecuación física de la que procede es incorrecta.

Basta con escribir la ecuación de dimensiones de cada parte de la igualdad y comprobar si son iguales o no. En este último caso podremos afirmar que la ecuación física es incorrecta.

Al escribir la ecuación de dimensiones de una magnitud, se encierra entre corchetes su símbolo para saber que se trata de un análisis de dimensiones y no de otra ecuación matemática.

Para averiguar la ecuación de dimensiones de una magnitud derivada se utiliza la misma ecuación matemática que para calcular su valor, pero suprimiendo los coeficientes numéricos y los signos negativos.

Por ejemplo:

La velocidad es el cociente entre el espacio recorrido (longitud, L) y el tiempo invertido en ello (tiempo, T). La ecuación de dimensiones de la velocidad es:  [v] = L ⋅ T−1

La unidad en que se expresa un área o superficie es el metro cuadrado (m2), es decir, una longitud al cuadrado; por tanto, su ecuación de dimensiones será:  [A] = L2

La fuerza, F, es el producto de la masa por la aceleración y esta, a su vez, es una longitud dividida por el tiempo al cuadrado:

De modo que la ecuación de dimensiones de la fuerza es: [F] = M ⋅ L ⋅ T−2

Ecuaciones homogéneas

Las ecuaciones de dimensiones permiten averiguar si la ecuación matemática de una magnitud es correcta. Por ejemplo, queremos saber si esta ecuación matemática de la fuerza centrípeta es correcta:

Para ello, comprobaremos que la ecuación de dimensiones a ambos lados del signo igual es la misma, es decir, que la ecuación matemática es una ecuación homogénea.

1er miembro: [F] = M ⋅ L ⋅ T−2

2º miembro:

Como ambas ecuaciones de dimensiones coinciden, la anterior ecuación de la fuerza centrípeta es homogénea.

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